Constructivismo en la Enseñanza de Matemáticas

Adaptación de los textos de: 

• Constructivist Learning and Teaching Douglas H. Clements and Michael T. Battista
• Constructivism and First-Grade Arithmetic Constance Kamii and Barbara A. Lewis

---

En realidad, nadie puede enseñar matemáticas. Los profesores eficaces son aquellos que pueden estimular a los estudiantes a aprender matemáticas. La investigación educativa ofrece evidencia convincente de que los estudiantes aprenden matemáticas adecuadamente solo cuando construyen su propio entendimiento matemático (MSEB y National Research Council 1989).

Se han propuesto cambios radicales en los informes recientes sobre educación matemática, como los Estándares de Currículo y Evaluación para Matemáticas Escolares del Consejo Nacional de Profesores de Matemáticas (NCTM, 1989) y el informe Everybody Counts del Consejo Nacional de Investigación (1989). Desafortunadamente, muchos educadores se centran en cambios de contenido en lugar de en las recomendaciones de estos informes para realizar cambios fundamentales en las prácticas de enseñanza. Muchos de estos cambios en la instrucción se comprenden mejor desde una perspectiva constructivista. Aunque las referencias a enfoques constructivistas son comunes, las descripciones prácticas de estos enfoques no han estado fácilmente disponibles.

¿Qué es el Constructivismo?

La mayor parte de la instrucción y los planes de estudio de matemáticas tradicionales se basan en una visión de transmisión o absorción de la enseñanza y el aprendizaje. En esta visión, los estudiantes absorben pasivamente las estructuras matemáticas inventadas por otros, registradas en textos o conocidas por adultos autoritarios. Enseñar, en este contexto, consiste en transmitir un conjunto de hechos, habilidades y conceptos ya establecidos a los estudiantes.

El constructivismo ofrece un contraste marcado con esta visión. Sus principios básicos, que son aceptados en mayor o menor grado por diferentes defensores, son los siguientes:

El conocimiento es activamente creado o inventado por el niño, no recibido pasivamente del entorno. Por ejemplo, la idea de “cuatro” no puede ser detectada directamente por los sentidos del niño. Es una relación que el niño superpone en un conjunto de objetos. Esta relación es construida por el niño al reflexionar sobre acciones realizadas en numerosos conjuntos de objetos, como contar conjuntos de tres o cinco.

Los niños crean nuevo conocimiento matemático reflexionando sobre sus acciones físicas y mentales. Las ideas se construyen o se hacen significativas cuando los niños las integran en sus estructuras de conocimiento existentes.

No existe una realidad única y verdadera, solo interpretaciones individuales del mundo. Estas interpretaciones se moldean por la experiencia y las interacciones sociales. Por lo tanto, aprender matemáticas debe considerarse como un proceso de adaptación y organización de su mundo cuantitativo, no de descubrir ideas preexistentes impuestas por otros.

El aprendizaje es un proceso social en el que los niños crecen intelectualmente en la vida de aquellos que los rodean (Bruner, 1986). Las ideas y verdades matemáticas, tanto en uso como en significado, se establecen cooperativamente por los miembros de una cultura. Así, el aula constructivista se ve como una cultura en la que los estudiantes participan no solo en el descubrimiento e invención, sino en un discurso social que incluye explicación, negociación, compartir y evaluación.

Aprendizaje y Enseñanza Constructivista

La enseñanza constructivista, por un lado, da un valor primordial al desarrollo de las ideas matemáticas personales de los estudiantes. La enseñanza tradicional, por otro lado, solo valora las técnicas y conceptos matemáticos ya establecidos. Por ejemplo, aunque muchos maestros usan materiales concretos para introducir ideas, los utilizan solo como un primer paso; el objetivo es llegar a las matemáticas abstractas y simbólicas establecidas. Sin darse cuenta, se desvalora el pensamiento intuitivo de los estudiantes sobre lo que es significativo para ellos. Así, los estudiantes llegan a sentir que sus ideas y métodos intuitivos no están relacionados con las matemáticas reales.

En contraste, en la enseñanza constructivista, se anima a los estudiantes a usar sus propios métodos para resolver problemas. No se les pide que adopten el pensamiento de otra persona, sino que se les anima a refinar su propio pensamiento. Aunque el maestro presenta tareas que promueven la invención o adopción de técnicas más sofisticadas, todos los métodos son valorados y apoyados. A través de la interacción con tareas matemáticas y con otros estudiantes, el pensamiento matemático intuitivo del estudiante se vuelve gradualmente más abstracto y poderoso.

El Papel del Maestro Constructivista

El papel del maestro constructivista es guiar y apoyar la invención de ideas matemáticas viables por parte de los estudiantes, en lugar de transmitir formas “correctas” de hacer matemáticas. Algunos ven el enfoque constructivista como ineficiente, un descubrimiento sin control. Sin embargo, incluso en su forma menos directiva, la orientación del maestro es lo que distingue al constructivismo del descubrimiento no guiado. El maestro constructivista, al ofrecer tareas apropiadas y oportunidades para el diálogo, guía el enfoque de la atención de los estudiantes, dirigiendo así su aprendizaje de manera no intrusiva (Bruner, 1986).

Los maestros constructivistas deben ser capaces de plantear tareas que provoquen reorganizaciones conceptuales en los estudiantes. Este enfoque requiere conocimiento tanto de la secuencia de desarrollo normal en la que los estudiantes aprenden ideas matemáticas específicas, como de las estructuras individuales actuales de los estudiantes en el aula. Además, estos maestros deben ser hábiles en estructurar el clima intelectual y social del aula para que los estudiantes discutan, reflexionen y den sentido a estas tareas.

Dos Objetivos Principales del Constructivismo

Adoptar una perspectiva constructivista implica dos objetivos principales para la enseñanza de las matemáticas (Cobb, 1988):

1. Desarrollar estructuras matemáticas complejas, abstractas y poderosas en los estudiantes, para que sean cada vez más capaces de resolver una amplia variedad de problemas significativos.
2. Fomentar la autonomía y la motivación intrínseca en la actividad matemática de los estudiantes. Los estudiantes deben percibir las matemáticas como una forma de pensar sobre problemas, no como un conjunto de hechos y procedimientos transmitidos por el maestro. Deberían ver su responsabilidad en el aula de matemáticas no tanto como completar tareas asignadas, sino como dar sentido a las matemáticas y comunicarse sobre ellas.

Nuevos Principios de Enseñanza

De acuerdo con el enfoque constructivista y los objetivos mencionados, se derivan los siguientes principios para la enseñanza:

1. Fomentar que los alumnos inventen sus propios métodos para sumar y restar números, en lugar de simplemente mostrarles cómo hacerlo. Por ejemplo, si los alumnos ya pueden jugar un juego de mesa con un dado, simplemente se introduce un segundo dado y se les deja descubrir cómo utilizarlo.
2. Animar a los alumnos a intercambiar puntos de vista en lugar de solo reforzar respuestas correctas y corregir las incorrectas. Si un alumno dice que seis menos dos es igual a tres, se les alienta a que discutan entre ellos para estar de acuerdo o en desacuerdo. A través del debate, los estudiantes eventualmente llegarán a un consenso sobre la verdad, ya que en el conocimiento lógico-matemático, nada es arbitrario.
3. Fomentar el pensamiento antes que el cálculo con papel y lápiz. La escritura de operaciones matemáticas a menudo interfiere con la libertad de los estudiantes para pensar y recordar sumas y diferencias.

Actividades en el Aula

Las actividades de papel y lápiz tienden a causar aislamiento social, repetición mecánica y dependencia del maestro para verificar si una respuesta es correcta. Por lo tanto, en lugar de usar libros de texto, cuadernos de ejercicios y hojas de trabajo, se reemplazan por dos tipos de actividades:

• Juegos: Por ejemplo, una modificación del juego “old maid” (parecido al “juego del burro”) en el que los estudiantes tratan de sumar diez con dos cartas. Aunque los juegos suelen usarse solo como recompensa para aquellos que terminan su trabajo, nosotros usamos los juegos como un componente central de la instrucción. Los juegos proporcionan razones convincentes para que los estudiantes piensen y debatan entre sí. Cuando resulta útil saber que 5 + 5, 6 + 4, 7 + 3, y así sucesivamente, suman diez, los estudiantes tienden a recordar mejor estas combinaciones que cuando solo las escriben en ejercicios pautados por el  maestro.
• Situaciones de la vida diaria: Estas también ofrecen oportunidades significativas para que los estudiantes construyan relaciones matemáticas. Tomar la asistencia, votar, recolectar dinero o enviar notas a casa son ejemplos de situaciones que un maestro puede utilizar para alentar a los estudiantes a pensar. Si cuatro personas trajeron su almuerzo, ocho pidieron el menú especial y seis pidieron sopa y sándwich, el maestro puede preguntar si todos los presentes han sido contabilizados. A los estudiantes les importan estas situaciones reales y piensan mucho más sobre estas preguntas que sobre las de los libros de trabajo.

Enseñanza Constructivista vs. Tradicional

En la instrucción constructivista, se anima a los estudiantes a desarrollar y utilizar sus propios métodos para resolver problemas, en lugar de adoptar el método estándar enseñado por otros. A través de la interacción con las tareas matemáticas y el diálogo con otros estudiantes, los niños logran una comprensión más profunda y abstracta de los conceptos matemáticos.

Este enfoque contrasta con la enseñanza tradicional, que tiende a centrarse en la memorización y aplicación de técnicas y procedimientos establecidos, frecuentemente ignorando el pensamiento intuitivo y las ideas personales de los estudiantes. En lugar de promover la exploración y el sentido propio de las matemáticas, la enseñanza tradicional a menudo enfatiza la repetición y el cumplimiento de tareas asignadas, lo que puede llevar a los estudiantes a ver las matemáticas como algo que no tiene un significado personal ni aplicación real.

Actividades Matemáticas Basadas en el Constructivismo

Para la instrucción aritmética en el primer grado, se sugiere el uso de juegos y situaciones de la vida diaria en lugar del uso tradicional de libros de texto, cuadernos de ejercicios y hojas de trabajo. Esta posición está respaldada por la investigación y la teoría de Jean Piaget, conocida como constructivismo, así como por investigaciones realizadas en el aula (Kamii, 1985, 1990).

La teoría de Piaget muestra que los niños adquieren los conceptos numéricos construyéndolos desde su interior en lugar de internalizarlos desde el exterior. Un ejemplo que ilustra esta idea es una de las tareas desarrolladas por Piaget junto a Inhelder (1963).

Ejemplo de Tarea de Piaget

El maestro le da al niño un vaso y toma otro para sí mismo. Después de colocar entre treinta y cincuenta fichas (o botones, frijoles, etc.) sobre la mesa, el maestro pide al alumno que coloque una ficha en su vaso cada vez que él coloque una en el suyo. Tras colocar unas cinco fichas en cada vaso con correspondencia uno a uno, el maestro dice: “Vamos a detenernos ahora, y tú observa lo que voy a hacer”. Entonces, el maestro coloca una ficha adicional en su vaso y dice: “Vamos a continuar”. Ambos colocan unas cinco fichas más en cada vaso. Luego, el maestro pregunta al alumno: “¿Tenemos la misma cantidad, o tienes tú más, o tengo yo más?”.

• Niños de cuatro años usualmente responden que ambos vasos tienen la misma cantidad, basándose en la apariencia visual. Si se les pregunta por qué piensan que es así, responden: “Porque puedo ver que ambos tienen la misma cantidad”.
• Niños de cinco o seis años suelen deducir lógicamente que el maestro tiene una ficha más. Al preguntarles cómo saben que el maestro tiene más, invocan los mismos hechos empíricos que los niños de cuatro años, pero ahora aplican un razonamiento lógico.

Este desarrollo muestra cómo los niños, a través de su habilidad natural para pensar, construyen relaciones numéricas, sin necesidad de que alguien les enseñe respuestas correctas.

Diferenciando Tipos de Conocimiento

Piaget distinguió entre tres tipos de conocimiento, según sus fuentes:

1. Conocimiento físico: Relacionado con las propiedades observables de los objetos, como el color o el peso de una ficha.
2. Conocimiento lógico-matemático: Se basa en relaciones creadas por el individuo, como la diferencia percibida entre una ficha roja y una azul. Esta diferencia no está en los objetos mismos, sino en cómo los relaciona el niño.
3. Conocimiento social (convencional): Se refiere a convenciones acordadas socialmente, como el hecho de que “Navidad es el 25 de diciembre” o cómo nombramos a los objetos.

Los conceptos numéricos necesarios para comprender los numerales pertenecen al conocimiento lógico-matemático, mientras que las palabras y símbolos que utilizamos para representarlos forman parte del conocimiento social.

Nuevas Metas para la Enseñanza de la Aritmética

Dado que los niños desarrollan su comprensión matemática pensando y construyendo relaciones por sí mismos, el objetivo de la enseñanza de la aritmética en los primeros grados debe ser fomentar el pensamiento autónomo y la creación de redes de relaciones numéricas. Por ejemplo, al sumar cinco y cuatro, los estudiantes deben ser capaces de pensar en los conjuntos de cinco (1+1+1+1+1) y de cuatro (1+1+1+1) para llegar a nueve.

Esta forma de enseñanza difiere significativamente de la instrucción tradicional que se centra en respuestas correctas y en la escritura de símbolos matemáticos, así como en la memorización de “hechos de la suma” para recordarlos como una computadora.

Principios para una Enseñanza Constructivista en la Aritmética

Algunos principios derivados del constructivismo para enseñar aritmética incluyen:

1. Permitir la invención: Animar a los estudiantes a inventar sus propias formas de resolver operaciones matemáticas en lugar de simplemente mostrarles los métodos tradicionales.
2. Facilitar el diálogo: Fomentar el intercambio de opiniones entre los estudiantes sobre sus procesos y respuestas, en lugar de enfocarse solo en respuestas correctas o incorrectas.
3. Priorizar el pensamiento sobre el cálculo mecánico: Reducir la dependencia de las hojas de cálculo para permitir que los estudiantes desarrollen un sentido más profundo de los conceptos.

Actividades en el Aula Basadas en el Constructivismo

La enseñanza basada en el constructivismo sugiere reemplazar los ejercicios tradicionales de papel y lápiz con actividades que promuevan la interacción social y el pensamiento independiente. En lugar de depender de libros de texto, cuadernos de ejercicios y hojas de trabajo, se recomiendan dos tipos de actividades:

1. Juegos Matemáticos:
   • Los juegos, como una versión modificada del juego “old maid” donde los alumnos intentan formar una suma de diez con dos cartas, han demostrado ser efectivos. A menudo, los juegos se usan como recompensa para aquellos que han terminado su trabajo, pero en la enseñanza constructivista, los juegos son parte esencial de la instrucción. Estos juegos motivan a los alumnos a pensar y debatir entre ellos. Cuando los estudiantes descubren que combinaciones como 5 + 5, 6 + 4, 7 + 3 suman diez, son más propensos a recordar estas sumas que si simplemente las escriben en cuadernos para satisfacer al maestro.
2. Situaciones de la Vida Diaria:
   • Las actividades que reflejan situaciones cotidianas también ofrecen oportunidades significativas para que los estudiantes construyan relaciones matemáticas. Tomar la asistencia, votar, recolectar dinero o enviar notas son ejemplos que los maestros pueden utilizar para fomentar el pensamiento matemático. Por ejemplo, si cuatro personas trajeron su propio almuerzo, ocho pidieron el menú especial y seis ordenaron sopa y sándwich, el maestro puede preguntar si todos han sido contabilizados. Estas preguntas, basadas en contextos reales, tienden a motivar más a los estudiantes que las preguntas de los libros de ejercicios.

Implicaciones del Constructivismo en la Educación

Adoptar un enfoque constructivista en la enseñanza significa ver a los estudiantes como creadores activos de su propio conocimiento en lugar de receptores pasivos. Este enfoque requiere que los maestros cambien su rol de transmisores de información a facilitadores del aprendizaje. Deben ser capaces de:

• Plantear problemas y tareas que promuevan reflexiones significativas en los estudiantes.
• Crear un ambiente de aula donde se valore la exploración y el intercambio de ideas.
• Ofrecer oportunidades de diálogo que guíen a los estudiantes hacia un entendimiento más profundo sin imponer respuestas correctas.

Este tipo de enseñanza se enfoca en desarrollar la capacidad de razonamiento de los estudiantes, promoviendo una comprensión más rica y autónoma de los conceptos matemáticos. Los estudiantes aprenden a pensar críticamente, a resolver problemas y a comunicar sus ideas, lo cual es esencial para su crecimiento intelectual y personal.

Un Llamado a los Educadores

A lo largo del año, cada artículo de la columna “Investigación en la Práctica” presentará ejemplos específicos de cómo se puede implementar el enfoque constructivista en la enseñanza de matemáticas. Estos artículos describirán cómo los estudiantes piensan sobre ciertos conceptos matemáticos y cómo los entornos de instrucción pueden diseñarse para fomentar un pensamiento más poderoso y abstracto.

Se invita a los educadores a considerar este enfoque y cómo podría relacionarse con su práctica docente. ¿Qué principios del constructivismo aceptarías en tu enseñanza? ¿Cómo cambiaría tu aula si aceptaras que los estudiantes deben construir su propio conocimiento? ¿Son diferentes las implicaciones para estudiantes de distintas edades? ¿Cómo gestionarías las diferencias individuales en el aula?Lo más importante es preguntarse: ¿Qué métodos de enseñanza son consistentes con una visión constructivista del aprendizaje?

Referencias

Bruner, J. (1986). Actual minds, possible worlds. Cambridge, MA: Harvard University Press.

Cobb, P. (1988). The tension between theories of learning and instruction in mathematics education. Educational Psychologist, 23(2), 87–103. https://doi.org/10.xxxx/yyyy

Mathematical Sciences Education Board (MSEB) & National Research Council. (1989). Everybody counts: A report to the nation on the future of mathematics education. Washington, DC: National Academy Press.

National Council of Teachers of Mathematics (NCTM). (1989). Curriculum and evaluation standards for school mathematics. Reston, VA: National Council of Teachers of Mathematics.

Steffe, L., & Cobb, P. (1988). Construction of arithmetical meanings and strategies. New York, NY: Springer-Verlag.

Inhelder, B., & Piaget, J. (1963). De l’itération des actions à la récurrence élémentaire. In P. Greco, B. Inhelder, B. Matalon, & J. Piaget (Eds.), La formation des raisonnements récurrentiels (pp. xx–xx). Paris: Presses Universitaires de France.

Kamii, C. (1990). Constructivism and beginning arithmetic (K–2). In T. J. Cooney & C. R. Hirsch (Eds.), Teaching and learning mathematics in the 1990s (pp. 22–30). Reston, VA: National Council of Teachers of Mathematics (NCTM).

Kamii, C. (199x). Young children reinvent arithmetic. Publisher.