“Los materiales educativos concretos no son drogas milagrosas. Su uso productivo requiere planificación y previsión.”
–Szendrei, 1996
Definición
Los manipulativos matemáticos son artefactos usados en la educación matemática: los estudiantes los manipulan para explorar, adquirir o investigar conceptos o procesos matemáticos y realizar actividades de resolución de problemas basadas en evidencia perceptiva (visual, táctil o, más generalmente, sensorial).
Características de los manipulativos en la educación matemática
Existen varios tipos de manipulativos usados en las escuelas y en la educación matemática. A partir de la literatura, se pueden establecer dos clasificaciones principales:
- Según la interacción usuario-manipulativo.
- Según el origen del manipulativo.
Estas clasificaciones distinguen entre:
- Manipulativos concretos vs. manipulativos virtuales.
- Manipulativos histórico-culturales vs. manipulativos «artificiales».
Manipulativos concretos y virtuales
- Manipulativos concretos: Son objetos físicos que los estudiantes pueden manipular directamente. Ofrecen una amplia experiencia sensorial, tanto táctil como visual.
- Manipulativos virtuales: Son objetos digitales que imitan los manipulativos físicos y pueden manipularse generalmente con un ratón. Permiten simular interacciones similares a las de los manipulativos concretos.
Manipulativos histórico-culturales y artificiales
- Histórico-culturales: Son manipulativos desarrollados a lo largo de la historia para resolver problemas específicos, tanto matemáticos como no matemáticos.
- Artificiales: Son diseñados por educadores para fines educativos específicos, con el propósito de representar conceptos matemáticos en un objeto o juego.
Ejemplos:
- El ábaco eslavo es considerado histórico-cultural debido a su relación con otras formas de ábaco. Fue adaptado en 1820 por Poncelet en Francia con fines educativos.
- Los regalos de Froebel, diseñados en 1840 para jardines de infancia, son el antecedente de manipulativos artificiales creados posteriormente por Montessori, Cuisenaire y Dienes.
Diferencias entre manipulativos concretos y virtuales
Una biblioteca completa de manipulativos virtuales está disponible en internet, generalmente en forma de applets digitales (como Java). Aunque permiten interacciones visuales similares a las de sus equivalentes concretos, los manipulativos virtuales carecen de la experiencia táctil.
Las tecnologías táctiles modernas abren nuevas posibilidades al permitir que los usuarios interactúen simultáneamente con múltiples puntos en la pantalla, lo que mejora la experiencia sensorial.
Estudios comparativos:
Hunt et al. (2011) realizaron un estudio de 3 años con futuros profesores de matemáticas, comparando manipulativos concretos y virtuales. Descubrieron que:
- Los manipulativos concretos son más efectivos para desarrollar la comprensión conceptual.
- Los manipulativos virtuales son útiles para reforzar conceptos aprendidos: 1) https://polypad.amplify.com/p 2) http://nlvm.usu.edu/en/nav/vlibrary.html 3) https://toytheater.com/category/teacher-tools/virtual-manipulatives/ 4) https://illuminations.nctm.org/
Maschietto y Bartolini Bussi (2011) concluyen que ambos tipos de manipulativos son complementarios y deben usarse juntos.
Cuestiones críticas
- Autonomía de los estudiantes:
- Desde Montessori, el uso de manipulativos ha promovido actividades espontáneas en un entorno preparado.
- Sin embargo, algunos estudios (Uttal et al., 1997; McNeil y Jarvin, 2007) cuestionan la efectividad de los manipulativos frente a métodos tradicionales, señalando que no siempre facilitan la conexión entre manipulativos y conceptos simbólicos.
- Edad de los estudiantes:
- La mayoría de los estudios sobre manipulativos se centran en educación preescolar y primaria. Aunque se han recomendado en secundaria y niveles superiores (NCTM, desde 1940), su uso es limitado.
Nührenbörger y Steinbring argumentan que los manipulativos son representaciones simbólicas que pueden usarse en todos los niveles escolares, incluidas las universidades.
Marco teórico: Mediación semiótica según Vygotsky
Vygotsky analizó el papel de los artefactos, incluidos los manipulativos, en el desarrollo cognitivo. Según su enfoque, los manipulativos son herramientas semióticas que requieren la intervención del maestro para conectar las actividades concretas de los estudiantes con significados matemáticos abstractos.
Semioticidad de los manipulativos:
El «potencial semiótico» de un manipulativo implica:
- Significados personales: Lo que los estudiantes descubren al usar el manipulativo.
- Significados matemáticos: Reconocidos como válidos por expertos.
Ejemplos de manipulativos y tareas
1. Bastones contadores
Usados desde la antigua China, permiten agrupar números en decenas y centenas.
- Tarea: Representar números entre 10 y 20 o calcular 36−8.
- Conocimiento matemático: Agrupación y desagrupación de números.
2. La Pascalina
Una calculadora mecánica diseñada por Blaise Pascal.
- Tarea: Representar el número 23 y explicar cómo se hizo.
- Conocimiento matemático: Generar números naturales y descomponerlos en decenas y unidades.
3. Compás y trazadores de curvas
El compás traza círculos y mide distancias, ilustrando conceptos como centro y radio.
- Tarea: Analizar su estructura y movimientos para comprender leyes matemáticas.
4. Pantógrafo de Scheiner
Este dispositivo permite copiar o ampliar dibujos.
- Tarea: Explorar por qué realiza dilataciones geométricas.
- Conocimiento matemático: Introducir conceptos de homotecia y transformaciones geométricas.
https://www.geogebra.org/m/d9qqXUjD
5. Aulas para pensar
Sumas y restas con llevadas. Traditional flavour. Usando billetes o bloques base 10.
Puedes consultar y descargar los billetes y toda secuencia didáctica en el blog de Pablo Beltrán https://tierradenumeros.com/post/hilo-algoritmos-tradicionales-suma-resta/
6. Preguntas abiertas
No existe una mejor opción educativa entre los distintos tipos de materiales manipulativos. Más bien, la elección depende de distintos factores (lo que está disponible, lo que se adapta mejor a la cultura y expectativas de los estudiantes, etc.) y, sobre todo, del sistema de creencias y la visión de los profesores sobre las matemáticas.
Nunca hay un acceso “natural” a las matemáticas corporizadas, ya que ningún artefacto es transparente en su significado matemático corporizado (Ball 1992; Meira 1998): siempre se requiere un contexto y un conjunto de tareas adecuados. Existen muchas razones para apoyar el uso de manipulativos en las aulas de matemáticas, pero la breve revisión de la literatura anterior muestra que todavía hay lugar para desarrollar estudios sobre:
- Manipulativos: analizar los límites y potencialidades de diferentes tipos de manipulativos (concretos vs. virtuales; histórico-culturales vs. artificiales) desde una perspectiva epistemológica, cognitiva y didáctica
- Práctica en el aula: diseñar, probar y analizar tareas sobre manipulativos en diferentes niveles escolares y en diferentes tradiciones culturales
- Formación y desarrollo docente: diseñar, probar y analizar tareas para docentes sobre el uso
de manipulativos en el aula de matemáticas.
Reflexión final
Comprometidos con los manipulativos, pero también con la necesidad de reflexionar sobre cómo los utilizamos. Personalmente, me ha resultado muy útil cuestionarme si lo que hago está alineado con mi visión de las matemáticas.
Con esto no quiero desanimar a nadie a emplear manipulativos, al contrario. Sé que en muchas escuelas primarias apenas se utilizan o no están presentes, y eso debería cambiar. Y en secundaria, la situación es incluso peor.
Cabe recordar que no existe algo como las «matemáticas manipulativas». Los manipulativos no son fórmulas mágicas, ni su uso garantiza que se adopte una visión específica de las matemáticas.
Referencias
Bartolini, M. G., & Martignone, F. (2014). Manipulatives in mathematics education. En S. Lerman (Ed.), Encyclopedia of mathematics education. Springer. https://doi.org/10.1007/978-94-007-4978-8_93
Szendrei, J. (1996). Concrete materials in the classroom. En A. J. Bishop, K. Clements, C. Keitel, J. Kilpatrick, & C. Laborde (Eds.), International handbook of mathematics education (Kluwer International Handbooks of Education, Vol. 4). Springer. https://doi.org/10.1007/978-94-009-1465-0_12