La investigación en didáctica de la matemática muestra de forma reiterada que el signo igual no es un símbolo trivial. Su comprensión condiciona el paso de la aritmética al álgebra y la capacidad de los alumnos para trabajar con relaciones, equivalencias y transformaciones. Los estudios de Behr y colaboradores (1980), Kieran (1981), Falkner, Levi y Carpenter (1999), Carpenter y su equipo (2003), Knuth y colaboradores (2005) y, de manera especialmente detallada, los de Marta Molina (2005 y 2006) coinciden en varios puntos centrales.
Visión predominante y sus consecuencias
La interpretación más frecuente entre alumnos de Educación Primaria —y que persiste en secundaria e incluso en algunos universitarios— es la operacional: el signo igual se lee como “da”, “hace” o “el resultado es”. Esta visión reduce el signo a un operador unidireccional que separa una cadena de operaciones de su resultado. Genera dificultades concretas:
- Rechazo o incomprensión de sentencias de no-acción (operaciones a ambos lados o sin operaciones: 3+5=4+4, 8=8, 13−7=□−6).
- Tendencia a operar todos los términos de izquierda a derecha o a ignorar términos.
- Necesidad de clausura (escribir siempre un resultado numérico a la derecha).
- Dificultades posteriores en ecuaciones algebraicas, porque el signo igual deja de verse como una relación de equivalencia que se conserva bajo transformaciones.
La enseñanza tradicional de la aritmética refuerza esta visión: la mayoría de las igualdades que aparecen en los libros de texto y en el aula son de acción con las operaciones a la izquierda. El uso de calculadoras y el lenguaje cotidiano (“igual a…”) también contribuyen.
Significados que los alumnos atribuyen al signo
La tesis de Marta Molina (2006) sobre alumnos de tercero de primaria identifica con claridad cuatro significados que los niños ponen en juego:
- Operador: el signo anuncia el resultado de una operación situada a la izquierda.
- Expresión de una acción: extensión del anterior; acepta operaciones a la derecha, pero sigue interpretando el signo como indicador de una acción.
- Equivalencia numérica: el signo expresa que ambos miembros tienen el mismo valor. Esta es la visión relacional deseable.
- Similitud numérica: significado emergente en el que el alumno considera verdadera cualquier sentencia que contenga términos repetidos o expresiones “parecidas”, sin atender a las operaciones ni a la posición de los términos respecto del signo. Puede ser un paso intermedio o una sobregeneralización de la propiedad reflexiva.
Estos significados no son excluyentes. Un mismo alumno puede usar uno u otro según la estructura de la sentencia, la carga cognitiva o la familiaridad con el tipo de igualdad. La comprensión avanzada no consiste en sustituir un significado por otro, sino en disponer de varios y seleccionar el adecuado según el contexto. Molina subraya que este carácter múltiple es precisamente lo que permite a los niños avanzar hacia un uso flexible del signo.
Niveles de comprensión observados
Molina distingue tres niveles a partir del comportamiento de los alumnos en igualdades abiertas y sentencias verdaderas/falsas:
- Operacional: solo acepta y resuelve correctamente sentencias de acción con operaciones a la izquierda.
- No estable: muestra el significado de equivalencia en algunas sentencias de no-acción, pero vuelve al operacional cuando aumenta la dificultad (números mayores, restas, posición de la incógnita).
- Avanzada: utiliza de forma coherente el significado de equivalencia en sentencias de no-acción y resuelve correctamente las de acción en cualquier posición.
En el estudio de Molina con alumnos que ya habían trabajado previamente igualdades de no-acción, alrededor de la mitad mostró comprensión avanzada de forma estable a lo largo de seis sesiones. Otros mostraron inestabilidad o progreso a lo largo de las intervenciones. La inestabilidad es especialmente visible cuando aparecen restas o números de mayor magnitud. Esta variabilidad no es un fallo de los niños; es una característica del proceso de construcción del significado, y por eso exige un trabajo sostenido en el tiempo.
Qué favorece el desarrollo de la visión relacional
Los estudios de intervención (Carpenter et al., 2003; Koehler, 2002; Molina, 2005 y 2006) coinciden en que la comprensión relacional se puede desarrollar desde edades tempranas (7-9 años) si se ofrecen oportunidades específicas:
- Trabajo sistemático con igualdades abiertas de tres y cuatro términos con la incógnita en distintas posiciones.
- Uso de sentencias verdaderas y falsas de no-acción, especialmente aquellas basadas en propiedades aritméticas (conmutativa, complementariedad de la suma y la resta, compensación, etc.).
- Construcción por parte de los alumnos de sentencias verdaderas y falsas de no-acción.
- Discusiones en las que se valoran y se hacen explícitas las explicaciones basadas en relaciones entre los términos, no solo en el cálculo del valor numérico de cada miembro.
- Evitar el uso del signo igual como simple indicador de “resultado de un cálculo” en el lenguaje del aula y en los materiales.
La instrucción explícita sobre el significado relacional produce mejoras medibles tanto en la comprensión del signo igual como en la resolución de ecuaciones posteriores. Diferencias pequeñas en la entrada temprana generan diferencias sustanciales en la comprensión de conceptos fundamentales.
Pensamiento relacional y signo igual
El desarrollo de la comprensión del signo igual como equivalencia está estrechamente ligado al pensamiento relacional: la capacidad de atender a las relaciones entre los elementos de una expresión (términos, operaciones, estructura) y de utilizar esas relaciones para simplificar o justificar sin calcular necesariamente el valor de cada miembro. Molina identifica perfiles de comportamiento que van desde la ausencia de pensamiento relacional hasta un uso flexible y variado de relaciones (mismidad de términos, compensación, complementariedad, etc.).
Cuando los alumnos disponen de pensamiento relacional, la visión del signo igual como equivalencia se estabiliza con más facilidad. A la inversa, una comprensión limitada del signo igual dificulta el uso de estrategias relacionales. En el trabajo de Molina se observa que los niños que empiezan a mirar la igualdad como un todo, y no como una secuencia de operaciones, son precisamente los que más pronto logran mantener una comprensión avanzada incluso cuando la dificultad aumenta.
Implicaciones para la enseñanza
- Usar la expresión “signo igual” (en lugar de “signo de iguales”) ayuda a recordar que tiene múltiples significados.
- Los alumnos deben encontrar desde el principio las propiedades de la igualdad: reflexividad (a=a), simetría y transitividad.
- Leer el signo como “es lo mismo que” o “tiene el mismo valor que” favorece la visión relacional.
- No basta con mostrar el uso correcto del signo; los alumnos necesitan oportunidades repetidas de aplicarlo en contextos variados y de justificar sus respuestas.
- La enseñanza de la aritmética debe incluir de forma intencional el trabajo con la estructura de las expresiones y las convenciones del lenguaje simbólico, no solo con el cálculo de resultados.
Una comprensión sofisticada del signo igual (que combine las visiones relacional y sustitutiva) es uno de los cimientos del álgebra. La “compulsión a calcular” que muchos alumnos arrastran desde primaria es, en buena medida, el resultado de una visión exclusivamente operacional del signo igual. Intervenir temprano sobre este punto reduce dificultades posteriores que, de otro modo, se vuelven resistentes.
En este sentido, el modelo de trabajo de la iniciativa ARPA (Activando la Resolución de Problemas en las Aulas) de la Universidad de Chile ofrece un marco especialmente adecuado. Al situar la resolución colaborativa de problemas no rutinarios en el centro, con grupos que discuten estrategias y un docente que pregunta más que explica, se crean las condiciones para que los alumnos miren las igualdades como totalidades, verbalicen relaciones y construyan significados más ricos del signo igual. El trabajo con sentencias verdaderas y falsas o con igualdades abiertas se convierte, dentro de una actividad ARPA, en un problema genuino de razonamiento y no en un ejercicio de cálculo.
En resumen: la investigación no solo documenta el problema, sino que muestra que es modificable. Con actividades bien diseñadas centradas en igualdades y sentencias de no-acción, discusión de relaciones y atención explícita al significado del signo, los alumnos de tercero de primaria pueden avanzar de forma clara hacia una comprensión relacional.
Resumen:
- Usar la expresión signo igual en lugar de signo de iguales puede ayudar a recordar a docentes y estudiantes sus múltiples significados, más allá de simplemente “realizar un cálculo”.
- Los estudiantes deben tener oportunidades de encontrar múltiples propiedades de la igualdad en su uso del signo igual, como parte de un enfoque intencional sobre sus usos.
- Desarrollar una visión exclusivamente operacional del signo igual (leerlo como “da” o “hace”) puede generar ideas erróneas en los estudiantes; esto es actualmente muy común en la matemática de la escuela primaria en países como el Reino Unido y Estados Unidos.
- Fomentar que los estudiantes desarrollen una visión relacional y una visión sustitutiva del signo igual mediante instrucción explícita ayuda a desarrollar su intuición matemática sobre el orden, el cambio y la equivalencia, previniendo así algunas ideas erróneas.
- Leer el signo igual como “es lo mismo que” ayuda a promover una visión relacional de su uso.
- Desarrollar una comprensión sofisticada del signo igual, que incluya las visiones relacional y sustitutiva, es la base para una comprensión exitosa del álgebra.
Bibliografía
Behr, M., Erlwanger, S. y Nichols, E. (1980). How children view the equals sign. Mathematics Teaching, 92, 13-15.
Carpenter, T. P., Franke, M. L. y Levi, L. (2003). Thinking mathematically: Integrating arithmetic and algebra in elementary school. Heinemann.
Falkner, K. P., Levi, L. y Carpenter, T. P. (1999). Children’s understanding of equality: A foundation for algebra. Teaching Children Mathematics, 6(4), 232-236.
Kieran, C. (1981). Concepts associated with the equality symbol. Educational Studies in Mathematics, 12(3), 317-326.
Knuth, E. J., Stephens, A. C., McNeil, N. M. y Alibali, M. W. (2006). Does understanding the equal sign matter? Evidence from solving equations. Journal for Research in Mathematics Education, 37(4), 297-312.
Molina, M. (2006). Desarrollo del pensamiento relacional y comprensión del signo igual por alumnos de tercero de educación primaria [Tesis doctoral]. Universidad de Granada. https://digibug.ugr.es/handle/10481/1402
Molina, M. y Castro, E. (2005 / 2006). Trabajos y comunicaciones asociadas al estudio de pensamiento relacional y signo igual en alumnos de tercero de primaria (artículos y presentaciones derivados del experimento de enseñanza).
Sobre ARPA
Felmer, P. y colaboradores (Iniciativa ARPA). Activando la Resolución de Problemas en las Aulas. Centro de Investigación Avanzada en Educación (CIAE) y Centro de Modelamiento Matemático (CMM), Universidad de Chile. Documentación y materiales disponibles en https://arpa.uchile.cl
(Nota: Los trabajos de Molina de 2005 corresponden a comunicaciones y artículos preliminares del mismo experimento de enseñanza que se sistematiza en la tesis de 2006.)