Durante décadas, en Estados Unidos, en el Reino Unido y también en España, se asumió que el álgebra era un contenido “de mayores”. Se dejaba para la secundaria porque se pensaba que los niños pequeños no estaban cognitivamente preparados para generalizar, usar letras o pensar en relaciones entre cantidades variables. El resultado, demasiado conocido, es que muchos adolescentes llegan a la ESO con una visión del álgebra como un conjunto de reglas misteriosas y fórmulas que hay que memorizar. Bertrand Russell contaba, con humor amargo, cómo su tutor le lanzó el libro a la cabeza cuando no lograba recordar de memoria “el cuadrado de la suma de dos números…”. Esa imagen sigue siendo, para demasiados estudiantes, la primera impresión del álgebra.
La investigación reunida en el volumen Algebra in the Early Grades (Kaput, Carraher y Blanton, 2008), los trabajos de Carraher y Schliemann (2007, 2018, 2019), las reflexiones de Anne Watson (2014) y, de forma especialmente profunda, el libro Developing Thinking in Algebra de John Mason (con Alan Graham y Sue Johnston-Wilder, 2005) parten de una premisa muy distinta: el álgebra temprana no es llevar el álgebra de secundaria a los 8 o 9 años. Es otra forma de mirar y trabajar los temas que ya están en la matemática de primaria. Es un enfoque que ayuda a los niños a pasar de casos particulares a conjuntos de casos y a las relaciones que los unen. Y, como veremos, este enfoque encuentra un encaje natural y potente con el sentido algebraico que la LOMLOE ha incorporado de forma explícita al currículo español de Educación Primaria.
¿Por qué las dificultades con el álgebra suelen aparecer en la adolescencia?
Carraher y Schliemann señalan que las dificultades clásicas —interpretación limitada del signo igual, confusión sobre el significado de las letras, rechazo a aceptar expresiones con variables como respuestas válidas— no se deben necesariamente a “restricciones del desarrollo cognitivo”. Muchas de ellas son el resultado de un currículo de primaria que ofrece una visión excesivamente computacional de la aritmética.
Anne Watson lo expresa con claridad: el problema no es “introducir la x antes”, sino que la x llega a menudo como un “símbolo alienígena”, sin que los estudiantes hayan construido antes una comprensión sólida de las relaciones entre cantidades. Cuando se reduce el álgebra a “mover letras de un lado a otro de la igualdad”, se pierde de vista que el álgebra escolar se funda en la expresión de la estructura, la equivalencia y las leyes de combinación de las operaciones.
John Mason va aún más lejos. Para él, el núcleo del pensamiento algebraico es expresar generalidad. Los seres humanos tenemos poderes naturales (especializar, generalizar, imaginar y expresar, conjeturar y convencer…) que la escuela puede cultivar o, por el contrario, dejar dormidos. Cuando la aritmética se presenta solo como cálculo de casos particulares, se desaprovecha la oportunidad de que los niños vean “lo general en lo particular” y “lo particular en lo general”. La aritmética, afirman Carraher, Schliemann y Mason, es ya algebraica. El reto no consiste en añadir contenidos algebraicos al currículo, sino en encontrar oportunidades para sacar a la luz ese carácter generalizador.
Tres rasgos que definen el álgebra temprana (y un cuarto de Mason)
Carraher, Schliemann y Schwartz identifican tres características:
- Se apoya en contextos ricos de problemas.
- La notación formal se introduce de forma gradual y judiciosa.
- Se entrelaza con los temas ya existentes del currículo.
Mason añade un matiz esencial: el pensamiento algebraico se desarrolla cuando se invitan a los niños a usar sus poderes matemáticos naturales. Especializar (probar con números concretos), generalizar (buscar lo que permanece), imaginar y expresar, conjeturar y convencer… son potencias que todos los niños poseen. El trabajo del docente consiste en crear situaciones en las que esos poderes se pongan en juego de forma deliberada.
Watson añade otra idea clave: el aprendizaje del álgebra temprana tiene dos partes que deben ir juntas: las relaciones que necesitan ser expresadas y las formas convencionales de expresarlas. Mucha enseñanza del álgebra se ha centrado en la segunda mientras ignoraba la primera.
Estos pilares resuenan de forma directa con el Bloque D. Sentido algebraico del Real Decreto 157/2022 (LOMLOE). Allí se habla de patrones, de modelización, de relaciones y funciones, y de la expresión de igualdades y desigualdades. No se pide que los niños resuelvan ecuaciones formales en primero de primaria, sino que identifiquen regularidades, describan relaciones y avancen hacia representaciones cada vez más generales.
El papel central de las funciones, las variables y la expresión de generalidad
Una de las aportaciones más potentes de este enfoque es situar las funciones, las relaciones entre cantidades y la expresión de generalidad en el centro del trabajo. Las operaciones aritméticas son ellas mismas funciones. Los conceptos de dominio y recorrido permiten introducir las variables como marcadores de posición. Las ecuaciones se interpretan de forma natural como la comparación de dos funciones.
Carraher y Schliemann subrayan que el pensamiento algebraico no exige necesariamente notación algebraica formal. Puede darse a través de variables implícitas o “cuasi-variables”. Cuando un niño afirma que “da igual qué números uses” al hablar de la propiedad conmutativa, está tratando esos números como variables. Cuando dice “María tiene tres caramelos más que Juan” sin conocer las cantidades exactas, está operando ya con una relación entre cantidades indeterminadas.
Mason insiste en que los símbolos solo tienen sentido cuando se usan para expresar algo que ya se ha comprendido. Introducir la letra antes de que exista la necesidad de expresar una generalidad es poner el carro delante de los bueyes.
Watson identifica ocho hilos de aprendizaje algebraico que pueden trabajarse, de forma ligera y planificada, a lo largo de toda la primaria: generalizar relaciones, equivalencia, encontrar valores, expresar situaciones, relacionar gráficos con situaciones, generar nuevas relaciones a partir de otras, notación estándar y comprensión de funciones.
De lo particular a lo general: las cajas de caramelos (inicio de 3.º)
En una clase de niños de ocho años, el maestro muestra dos cajas cerradas. Una es de Xoel; la otra es de María y tiene, además, tres caramelos encima. Las dos cajas contienen exactamente la misma cantidad.
Cuando se les pide que digan qué saben sobre las cantidades, la mayoría elige un número concreto: “Xoel tiene 6 y María 9”. Unos pocos se resisten a asignar un valor: “María tiene tres más que Juan”. Esos niños ofrecen el momento perfecto para introducir la letra N: “Xoel tiene N caramelos; María tiene N + 3”.
La conversación no busca “adivinar el número correcto”. Busca reconocer que hay muchas respuestas posibles, pero no todas son coherentes con la información dada. La tabla de predicciones ayuda a verlo: cuando alguien propone 7 y 13, el grupo discute por qué esa pareja no sirve. Poco a poco emerge la idea de que, una vez fijado un valor para una de las cantidades, la otra deja de ser libre.
Aquí se trabaja de forma natural la equivalencia, la generalización de relaciones y el paso de lo particular a lo general. Los niños están usando el poder de especializar (probar casos concretos) y el de generalizar (buscar lo que permanece invariante).
Representar relaciones aditivas en la recta numérica: el problema de las alturas
Se dan dos comparaciones: Tomás es 4 centímetros más alto que María; María es 6 centímetros más baja que Lucía. Se pide representar las alturas relativas de los tres niños.
Muchos niños dibujan barras verticales. Una alumna, Ana, decide usar una “recta numérica variable”: el origen se etiqueta como N, a la derecha N+1, N+2… y a la izquierda N-1, N-2… Coloca a María en N, a Tomás en N+4 y a Lucía en N+6.
El maestro aprovecha la idea y pide al grupo que explore qué pasa si se coloca a Lucía en el origen, o a Tomás. Los niños descubren que la elección del origen es arbitraria y que las relaciones se mantienen. La recta numérica y la notación les ayudan a estructurar el problema y a articular su pensamiento sobre las relaciones entre las tres alturas. Aquí se ve con claridad el tema masoniano de invariancia en medio del cambio: aunque cambie el origen, la relación entre las alturas permanece.
Funciones lineales con mesas de un restaurante
Se unen mesas cuadradas en fila y se pregunta cuántas personas pueden sentarse (una por cada lado libre). Los niños exploran el patrón, construyen tablas y buscan una regla que permita calcular el número de asientos para cualquier número n de mesas.
Algunos proponen n + n + 2. Otros llegan a 2n + 2. El trabajo no se queda en “encontrar la fórmula”. Se discute cómo distintas formas de “partir” el problema generan expresiones equivalentes. Se coordina la representación tabular, la geométrica y la algebraica. Es un ejemplo claro de cómo una actividad de patrones puede convertirse en un espacio de pensamiento funcional, de equivalencia y de expresión de generalidad.
El problema de la billetera: ecuaciones como comparación de funciones
En la mitad de cuarto grado los mismos niños enfrentan la situación de Miguel y Roberto:
Miguel tiene 8 euros en la mano y el resto de su dinero está en su billetera.
Roberto tiene exactamente tres veces lo que Miguel tiene en su billetera.
¿Qué se puede decir de las cantidades de dinero de Miguel y de Roberto?
Ahora la mayoría ya no se queda en un caso particular. Muchos escriben N + 8 para Miguel y 3N para Roberto. Cuando el maestro coloca encabezados algebraicos en la tabla —W, W + 8, 3W—, los niños dejan de reconstruir la historia cada vez. Simplemente operan con las expresiones.
Los gráficos refuerzan la idea de covariación. Al dibujar las dos rectas, los niños ven que se cruzan cuando ambas cantidades son iguales (cuando W = 4). Esa intersección se convierte, de manera natural, en el punto de partida para hablar de ecuaciones entendidas como igualdad de dos funciones.
Más allá de los ejemplos: capacidad de los niños y retos de implementación
El volumen Algebra in the Early Grades y el trabajo de Mason muestran que los niños de primaria son capaces de generalizar propiedades de los números y las operaciones, razonar sobre el cambio, coordinar representaciones múltiples y trabajar con relaciones funcionales. Mason insiste en que estos poderes no hay que “enseñarlos” desde cero: hay que invitar a los niños a usarlos de forma consciente y deliberada.
Sin embargo, el optimismo sobre lo que los niños pueden hacer debe matizarse con realismo sobre lo que los sistemas educativos y la formación del profesorado están preparados para sostener. Sustituir una casilla vacía por una x no garantiza comprensión algebraica. La notación formal solo tiene sentido cuando ya existe una comprensión de las relaciones que se quieren expresar.
Conexión con la LOMLOE y con la investigación española
La LOMLOE no habla de “álgebra temprana” con ese nombre, pero el sentido algebraico que introduce es coherente con este enfoque. En el Bloque D se incluyen patrones, modelización, relaciones de igualdad y desigualdad, y relaciones y funciones.
Investigadores españoles como María C. Cañadas, Marta Molina y Ángel Alsina han venido trabajando en esta línea desde hace más de una década. El trabajo de Carraher, Schliemann, Kaput, Blanton, Watson y Mason ofrece ejemplos concretos, marcos teóricos y reflexiones curriculares que pueden inspirar diseños de tareas en el contexto español.
Condiciones que favorecen el cultivo del pensamiento algebraico
De los estudios longitudinales y de las ideas de Mason, Watson, Carraher y Schliemann se desprenden algunas condiciones favorables:
- Partir de las representaciones intuitivas de los niños y construir a partir de ellas.
- Invitar deliberadamente a los niños a especializar y a generalizar.
- Dedicar tiempo a la discusión colectiva, contrastando ideas y justificaciones.
- Introducir nuevas representaciones de forma gradual y significativa.
- Centrar la atención en las relaciones entre conjuntos de cantidades, no solo en cálculos particulares.
- Usar materiales estructurados para hacer visibles las leyes de la aritmética.
- Entender que el maestro actúa como mediador que socializa a los niños en los sistemas simbólicos, pero también les da espacio para apropiárselos.
- Reconocer que el pensamiento algebraico puede desarrollarse antes de dominar la notación formal.
- Apoyar al profesorado con formación específica que les permita ver la aritmética con “ojos algebraicos” y cultivar los poderes matemáticos naturales de los alumnos.
¿Por qué vale la pena el esfuerzo?
El paso de lo particular a lo general exige mucho a los niños y a los maestros. Requiere tiempo, conversaciones largas y una disposición a no cerrar demasiado pronto las discusiones. Pero los resultados muestran que es posible. Niños de 8 a 11 años, con un trabajo sostenido y bien acompañado, logran:
- Usar letras para cantidades indeterminadas y como marcadores de posición.
- Construir y leer tablas y gráficos de funciones.
- Resolver ecuaciones entendidas como igualdad de relaciones.
- Coordinar distintas representaciones.
- Inferir relaciones a partir de otras.
- Generalizar a partir de patrones y de propiedades de las operaciones.
- Expresar generalidad de forma cada vez más precisa y consciente.
En un sistema como el español, donde la LOMLOE ya ha abierto la puerta al saber algebraico, este enfoque no supone un añadido artificial. Supone aprovechar la oportunidad que el currículo ofrece para que la matemática de primaria deje de ser solo “contar y calcular” y se convierta también en un espacio donde se aprende a generalizar, a modelizar y a razonar sobre relaciones.
El álgebra temprana no añade peso al currículo. Saca a la luz el carácter generalizador que ya está presente en la matemática de los primeros grados. Y eso, a la larga, cambia la forma en que los estudiantes se relacionan con las ideas matemáticas.
Referencias
Carraher, D. W., & Schliemann, A. D. (2018). Cultivating early algebraic reasoning. En C. Kieran (Ed.), Teaching and learning algebraic thinking with 5-12-year-olds (pp. 107-138). Springer.
Carraher, D. W., & Schliemann, A. D. (2019). Early algebraic thinking and the US mathematics standards for grades K to 5. Infancia y Aprendizaje. https://doi.org/10.1080/02103702.2019.1638570
Carraher, D. W., Schliemann, A. D., & Schwartz, J. L. (2007). Early algebra is not the same as algebra early. En J. Kaput, D. Carraher y M. Blanton (Eds.), Algebra in the early grades (pp. 235-272). Erlbaum.
Kaput, J. J., Carraher, D. W., & Blanton, M. L. (Eds.). (2008). Algebra in the early grades. Erlbaum / National Council of Teachers of Mathematics.
Mason, J., Graham, A., & Johnston-Wilder, S. (2005). Developing thinking in algebra. The Open University / Paul Chapman Publishing.
Watson, A. (2014). What’s X got to do with it? NRich Mathematics. University of Cambridge. https://nrich.maths.org/10906
Ministerio de Educación y Formación Profesional. (2022). Real Decreto 157/2022, de 1 de marzo, por el que se establecen la ordenación y las enseñanzas mínimas de la Educación Primaria. BOE.
Cañadas, M. C. y Molina, M. (2025). Pensamiento algebraico: Propuestas desde la investigación para el aula. Epsilon, 121, 9-20.
Alsina, Á. (2020). Itinerario de enseñanza para el álgebra temprana. Revista Chilena de Educación Matemática, 12(1), 5-20.
National Council of Teachers of Mathematics. (2000). Principles and standards for school mathematics. NCTM.