Introducción
Cuando hablamos de la transición de la aritmética al álgebra, a menudo la describimos como un puente que los estudiantes deben cruzar. Pero ¿y si el problema no estuviera en el puente, sino en cómo hemos construido la orilla desde la que parten?
La investigación en educación matemática lleva décadas señalando que el «choque algebraico» que experimentan muchos estudiantes en secundaria no es inevitable. Dos corrientes fundamentales —el Early Algebra y el trabajo de John Mason sobre las «raíces del álgebra»— coinciden en una idea poderosa: el pensamiento algebraico puede y debe sembrarse desde los primeros años de escolaridad.
Muchos alumnos llegan a la secundaria con una idea muy arraigada: las matemáticas consisten en «hacer cuentas» y encontrar el resultado correcto. Cuando aparece el álgebra, esa mirada choca con una realidad distinta. El álgebra no pide solo el resultado: pide representar relaciones, generalizar y trabajar con estructuras. El choque es tan fuerte que muchos estudiantes desarrollan rechazo o inseguridad.
Las investigaciones muestran que este choque no es inevitable. Se puede —y se debe— preparar el terreno desde los primeros años de infantil y primeros cursos de primaria. No se trata de adelantar contenidos de secundaria, sino de enseñar aritmética de otra manera: con una mirada relacional, atenta a las estructuras y a los significados.
El diagnóstico: ¿por qué fracasa la enseñanza «tradicional» ?
John Mason, en su capítulo «Expressing Generality and Roots of Algebra», plantea una hipótesis provocadora:
«La generalización es el latido del corazón de las matemáticas, y aparece en muchas formas. Si los profesores no son conscientes de su presencia, y no tienen el hábito de hacer que los estudiantes trabajen en expresar sus propias generalizaciones, entonces el pensamiento matemático no está teniendo lugar.»
El problema, según Mason, no es que los estudiantes no puedan generalizar —de hecho, lo hacen de forma natural desde que aprenden a hablar— sino que la enseñanza tradicional de la aritmética les entrena para no hacerlo. En lugar de ver «lo general en lo particular», los estudiantes aprenden a buscar el resultado numérico, a completar ejercicios, a seguir procedimientos.
La investigación del Early Algebra confirma este diagnóstico:
- La enseñanza se centra casi exclusivamente en técnicas de cálculo.
- Los libros de texto privilegian la reproducción de procedimientos.
- Hay poca atención a la justificación de por qué las cosas funcionan.
- La formación docente es insuficiente en los resultados de la investigación educativa.
El resultado: cuando el álgebra aparece, los estudiantes se encuentran con un lenguaje y una forma de pensar que no encajan con lo que han practicado durante años.
El corazón del álgebra: expresar generalidad
Mason identifica un concepto clave que a menudo pasa desapercibido: expresar generalidad. Para él, el álgebra no es principalmente un conjunto de técnicas de manipulación simbólica, sino un lenguaje para expresar y manipular generalidades.
Ilustra esta idea con un ejemplo que debería hacernos reflexionar:
«La suma de los ángulos de un triángulo es 180 grados. ¿Cuál es la palabra más importante, matemáticamente, en esa afirmación? […] La palabra que tengo en mente es ‘un’. Ese pequeño artículo indefinido señala ‘cualquier’, que a su vez señala ‘todo’, que se refiere al alcance de la variabilidad que se está considerando.»
La esencia de la afirmación no está en el número 180, sino en la generalidad que encierra. Sin embargo, en muchas aulas se enfatiza el número —»recuerda que son 180 grados»— y se pierde de vista lo fundamental: la invariante, la relación que se mantiene mientras algo varía.
Esta es precisamente la mirada que el Early Algebra propone cultivar desde infantil y primaria : no se trata de adelantar contenidos, sino de enseñar aritmética de manera relacional, atenta a las estructuras y a los significados.
De la aritmética al álgebra: un cambio de mirada
¿En qué consiste exactamente este cambio de mirada? Tanto Mason como los investigadores del Early Algebra señalan varios desplazamientos fundamentales:
1. De la técnica a la estructura
Mason observa:
«Los estudiantes que pueden caminar y hablar han mostrado amplia evidencia del pensamiento requerido. […] El álgebra, tal como se entiende en la escuela, es el lenguaje para la expresión y manipulación de generalidades.»
Esto significa que los niños ya poseen la capacidad de pensar algebraicamente. El problema es que la enseñanza tradicional no reconoce ni cultiva esa capacidad.
El Early Algebra propone actividades donde el foco no está en encontrar el resultado, sino en representar la situación de manera que otra persona pueda entenderla. Por ejemplo:
Situación: Eva tiene 13 euros, recibe 9 más y gasta 6.
- Tarea clásica: ¿Cuántos euros le quedan a Eva?
- Tarea algebraica: Representa la situación en lenguaje matemático de forma que otra persona pueda calcular cuántos euros le quedan.
La diferencia es epistemológica: la aritmética busca la solución inmediata; el álgebra comienza por la representación formal
2. De la particularidad a la generalidad
Mason introduce una distinción crucial entre ver a través de y mirar a:
«Cuando los profesores o autores hacen un ‘ejemplo’ para los estudiantes, su experiencia suele ser completamente diferente a la de su audiencia. Para el profesor, el ejemplo es un ejemplo de algo; es un caso particular de una noción más general. […] Para el estudiante, el ejemplo es una totalidad. No se ve como ilustración de una generalidad, sino como completo en sí mismo.»
Esta diferencia explica por qué muchos estudiantes, incluso cuando «hacen bien» los ejercicios, no desarrollan pensamiento algebraico. Han aprendido a ejecutar procedimientos, pero no a ver la estructura subyacente.
El Early Algebra propone trabajar con formas canónicas y no canónicas de un número para cultivar esta mirada. Así como «María», «hija de Laura» y «hermana de Christian» son diferentes formas de nombrar a la misma persona, un número como 12 puede expresarse como 3×4, 36÷3, 10+2, etc. Cada forma revela un proceso o una relación distinta.
3. Del «hacer cuentas» a la equivalencia
La lectura habitual del signo «=» es procedimental: «sumo 6 y 11, resto 2 y obtengo 15». El signo «=» actúa como un operador direccional que anuncia el resultado.
Mason señala que esta comprensión es insuficiente para el álgebra:
«El hecho de que esta constante sea 180 grados tiene relativamente poca importancia. […] El fracaso en usar este hecho rara vez se debe a olvidar si es 180 o algún otro número, sino a la falta de apreciación de la generalidad, de la invariancia, que se está expresando.»
En álgebra, el mismo signo adquiere un significado relacional: indica equivalencia entre dos representaciones de la misma cantidad. Una escritura como 26 = x − 7 resulta confusa si se mantiene la idea de que «el número después del igual es el resultado».
Cuando un niño de 8 años observa: «Es correcto decir que 5 + 6 hace 11, pero no que 11 ‘hace’ 5 + 6. Mejor decir que es igual, porque también funciona al revés», está construyendo precisamente esa comprensión relacional.
La carrera hacia los símbolos: el error que Mason identifica
Mason alerta sobre un error recurrente en la enseñanza:
«La carrera desde las palabras hacia los símbolos de una sola letra ha marcado la instrucción del álgebra escolar durante más de cien años.»
Este apresuramiento tiene consecuencias nefastas:
«Los tratamientos formales, que han tenido mucho éxito para los pensadores rápidos y los que no cuestionan, han tratado los símbolos como números desconocidos y se han embarcado en una serie de juegos con reglas para manipularlos. Pero los buscadores de significado y aquellos menos capaces de lograr un éxito rápido reconociendo patrones de simplificación espontáneamente, han abandonado las matemáticas, manteniendo el álgebra como la principal barrera matemática para la sociedad en su conjunto.»
El Early Algebra propone una alternativa: el balbuceo algebraico. Así como los niños no aprenden a hablar de forma perfecta desde el primer día, pueden empezar a escribir e interpretar expresiones matemáticas de manera imperfecta. El maestro acepta esas primeras escrituras, las pone en discusión colectiva y las va depurando.
Ejemplo real de tercer curso:
- «El doble de un número desconocido» aparece primero como «d. de u.n.»
- Después se convierte en «n de d».
- Finalmente llega a «n × 2».
El maestro orquesta la discusión de los significados y ayuda a encontrar las traducciones más adecuadas.
La transparencia de las representaciones: el concepto de Rina Zazkis
Gregorio Morales, en una reflexión que circuló por redes, nos trae una idea clave de la investigadora Rina Zazkis que merece un lugar central en esta reflexión: el concepto de representación transparente.
Zazkis y sus colaboradores (Zazkis & Sirotic, 2004; Zazkis & Gadowsky, 2001) distinguen entre representaciones transparentes y opacas. Una representación es transparente cuando «muestra» algunas propiedades del objeto matemático que representa; es opaca cuando esas propiedades quedan ocultas. Y aquí está lo interesante: ninguna representación lo muestra todo—todas son, en cierto sentido, opacas, porque siempre esconden algunos rasgos del número.
Los ejemplos que aporta Gregorio son perfectos:
«La manera de representar un objeto hace que algunas de sus propiedades sean transparentes y otras sean opacas. Por ejemplo, representar 784 = 98 × 8 hace transparente que es un múltiplo de 98, mientras que representarlo como 28² hace transparente que es un cuadrado perfecto.»
Cada representación ilumina una propiedad y oscurece otras. La elección de cómo representar un número no es neutral: determina qué podemos ver y qué permanece invisible.
Y Gregorio añade una observación que conecta directamente con el problema que venimos señalando:
«En cualquier caso, hay que pasar de la fase de ver que 28² es una representación perfectamente válida y no una instrucción de ‘multiplica 28 por sí mismo y dime el resultado’. Normalmente, en secundaria la mayoría siguen en esa fase.»
Esta observación es demoledora y explica muchas de las dificultades que encontramos en el aula. Cuando un estudiante ve 28², su lectura es procedimental: «multiplico 28 por 28 y ya está». No ve una representación que hace transparente una propiedad (ser un cuadrado perfecto), sino una orden de cálculo. La representación se convierte en instrucción, no en ventana a la estructura.
Este es exactamente el mismo problema que señalaba John Mason cuando hablaba de la diferencia entre ver a través de y mirar a: el estudiante mira la expresión como un fin en sí mismo, no como una ventana a una generalidad.
Conexión con el Early Algebra
El concepto de representación transparente refuerza la necesidad del Early Algebra desde primaria:
- Trabajar con formas no canónicas no es un ejercicio menor: es la base para entender que los números tienen múltiples identidades y que cada forma revela algo distinto.
- El balbuceo algebraico gana sentido: cuando un niño escribe «d. de u.n.» para «el doble de un número desconocido», está creando una representación que, aunque imperfecta, hace transparente la estructura de la relación. La tarea del maestro es ayudar a que esa transparencia se refine, no a sustituirla por una notación vacía de significado.
- La diferencia entre forma canónica y no canónica (que ya mencionábamos) se ilumina con esta idea: la forma canónica (12) es opaca respecto a cómo se ha construido el número; las formas no canónicas (3×4, 36÷3, 10+2) pueden hacer transparentes diferentes relaciones.
Implicación para la práctica
Si la representación determina lo que podemos ver, entonces enseñar matemáticas es, en buena medida, enseñar a elegir y a leer representaciones. No se trata solo de dominar la notación algebraica, sino de desarrollar la sensibilidad para reconocer qué representación hace transparente la propiedad que necesitamos en cada momento.
Como señalan Zazkis y Sirotic, la recomendación para la práctica es clara: un énfasis más estrecho en las representaciones y en las conclusiones que pueden derivarse de considerarlas.
Obstáculos y oportunidades: lo que Mason y el Early Algebra nos enseñan
El patrón como trampa
Mason advierte:
«El reconocimiento de patrones puede permanecer trivial. […] ¿Cómo puede un profesor ayudar a dirigir la atención del alumno desde un patrón observado en las respuestas, al método de generar esos números?»
Esta es una observación crucial. No basta con que los estudiantes «vean patrones»; deben aprender a reconocer patrones algebraicamente útiles. La flexibilidad para ver varios patrones y abandonar aquellos que no resultan útiles es una habilidad que debe cultivarse.
La importancia del lenguaje natural
Tanto Mason como el Early Algebra coinciden en el papel mediador del lenguaje natural:
«El álgebra es un lenguaje para la expresión y manipulación de generalidades.»
El Early Algebra propone usar «amigos por correspondencia» ficticios que solo hablan en lenguaje algebraico. Los alumnos descubren que, si no respetan las reglas sintácticas, el mensaje no se entiende. Este recurso convierte el aprendizaje de la sintaxis algebraica en una necesidad comunicativa real.
El papel del maestro
Ninguno de estos cambios ocurre de forma espontánea. Mason subraya:
«En la presencia de alguien cuya atención está estructurada de manera diferente, cuya conciencia es más amplia y de múltiples niveles, que pueda dirigir o atraer la atención del estudiante apropiadamente hacia características importantes, es esencial.»
El maestro necesita reconstruir sus propias creencias sobre la aritmética y el álgebra. Como señala el Early Algebra, cuando el maestro cambia su mirada, puede ayudar a los alumnos a «domesticar el ojo» y a ver estructuras donde antes solo veían números y operaciones.
Conclusión: Sembrar pensamiento algebraico
Volvamos a la pregunta inicial: ¿se puede y se debe sembrar pensamiento algebraico desde primera infancia?
Se puede, porque los niños son capaces de construir significados, generalizar y argumentar cuando se les ofrece un entorno rico en discusiones, representaciones y reflexiones lingüísticas.
Se debe, porque, de lo contrario, se consolida una visión procedimental de las matemáticas que luego resulta muy difícil de modificar.
John Mason lo resume con claridad:
«Si los profesores no son conscientes de su presencia [de la generalización], y no están en el hábito de hacer que los estudiantes trabajen en expresar sus propias generalizaciones, entonces el pensamiento matemático no está teniendo lugar.»
El Early Algebra, unido a una formación docente seria y reflexiva, permite que los alumnos lleguen a la secundaria con una actitud productiva hacia la generalización y con la capacidad de usar el lenguaje algebraico como herramienta de pensamiento.
Y con la mirada puesta en la transparencia de las representaciones, podemos ayudarles a entender que las expresiones matemáticas no son instrucciones de cálculo, sino ventanas que abren y cierran la vista a diferentes propiedades. Si sembramos esa idea desde primaria, quizá lleguen a la secundaria con una mirada distinta.
El cambio no es solo metodológico. Es cultural. Y empieza en las aulas de infantil.
Referencias
- Mason, J. (1996). Expressing Generality and Roots of Algebra. En N. Bednarz, C. Kieran y L. Lee (Eds.), Approaches to Algebra: Perspectives for Research and Teaching (pp. 65-86). Kluwer Academic Publishers.
- Zazkis, R., & Sirotic, N. (2004). Making sense of irrational numbers: Focusing on representation. En Proceedings of the 28th Conference of the International Group for the Psychology of Mathematics Education (Vol. 4, pp. 449-456).
- Zazkis, R., & Gadowsky, K. (2001). Attending to transparent representations of irrational numbers. En Proceedings of the 25th Conference of the International Group for the Psychology of Mathematics Education (Vol. 4, pp. 441-448).
- Clements & Sarama (2020). Learning and Teaching Early Math. The learning trajectories approach.