Situación de aprendizaje para el desarrollo del sentido algebraico a través de la resolución de problemas.1. Datos generales
| Nivel | 5º EP |
| Duración | 1 Sesión |
| Organización | Equipos de 3 en pizarras verticales (Thinking Classroom) |
| Enfoque | Enseñanza a través de la resolución de problemas + Symbol sense (Arcavi et al., 2017) + Ciclo de modelización |
2. Fundamentación teórica
El aprendizaje del álgebra escolar constituye tradicionalmente uno de los escollos más complejos en la Educación Primaria y Secundaria. Históricamente, la enseñanza se ha volcado hacia la ejecución mecánica de reglas sintácticas desprovistas de contexto (despejar la x, factorizar, simplificar). Como consecuencia, los estudiantes desarrollan una visión puramente procedimental, percibiendo las expresiones algebraicas como simples órdenes de cálculo o mandatos ejecutivos en lugar de entidades matemáticas con significado propio. Para transformar esta realidad, esta situación de aprendizaje articula de forma unificada tres marcos de investigación en didáctica de las matemáticas.
2.1. El Sentido de los Símbolos (Symbol Sense) de Abraham Arcavi
Inspirado analógicamente en el sentido numérico (number sense) de la aritmética básica, Abraham Arcavi (1994, 2005) acuñó el concepto de sentido de los símbolos (symbol sense) para describir una red integrada de intuiciones, capacidades analíticas y conocimientos reflexivos que permiten al estudiante interactuar con el lenguaje simbólico de forma fluida, estratégica y con propósito. El symbol sense abarca:
- Inspección previa y lectura «a priori»: Pausar el impulso irreflexivo de calcular a ciegas para analizar la estructura global de la expresión antes de realizar operaciones sintácticas.
- Visión Gestalt o global: Transitar de una visión local paso a paso hacia la capacidad de percibir estructuras globales, reconocer patrones y tomar decisiones sobre cuándo aplicar o detener un procedimiento.
- Reconocimiento de equivalencias estructurales: Comprender que distintas formas algebraicas de una misma relación expresan significados geométricos o analíticos diferentes pero equivalentes.
- Navegación flexible por las facetas de la variable: Reconocer las distintas funciones de las letras (incógnita, cantidad en covariación, número generalizado, parámetro o marcador de posición), evitando la perjudicial «ensalada de frutas» que asocia letras a objetos físicos en lugar de cantidades numéricas (MacGregor, 1986; Arcavi et al., 2017).
- Reificación y pensamiento proceptual: Comprender las expresiones en su dualidad como proceso (instrucciones de cálculo) y como objeto estático (entidad que puede ser operada o comparada) (Sfard, 1991; Gray & Tall, 1994).
2.2. Enseñar A TRAVÉS de la Resolución de Problemas (Beltrán-Pellicer & Martínez-Juste, 2021)
Frente a las metodologías tradicionales donde el docente explica primero la teoría y luego solicita la resolución de ejercicios tipo («enseñar para la resolución de problemas»), esta situación adopta el modelo de constructivismo guiado: enseñar a través de la resolución de problemas (Beltrán-Pellicer & Martínez-Juste, 2021). En este enfoque:
- El contenido matemático no se imparte previamente, sino que emerge de forma natural como la herramienta necesaria para dar respuesta al reto planteado.
- El alumnado no recibe una tabla o esquema predefinido de registro. Son los propios estudiantes en sus equipos quienes, al enfrentarse a la situación sin instrucción previa, sienten la necesidad de organizar la información y construyen su propio sistema de registro.
- Principios Inclusivos Low Floor – High Ceiling (Suelo Bajo – Techo Alto): La tarea ofrece un punto de entrada accesible para todos mediante la exploración pictórica inicial (suelo bajo), pero permite escalar de forma ilimitada hacia la formalización funcional, tareas inversas y análisis de parámetros (techo alto).
- Rol docente de andamiaje (scaffolding): El profesor no actúa como un juez que confirma la respuesta correcta ni da soluciones directas. Su función es formular preguntas provocadoras basadas en los razonamientos de los alumnos, dinamizando la discusión colectiva para institucionalizar el conocimiento al final.
2.3. El Ciclo de Modelización Matemática
La propuesta se estructura en las cuatro fases del ciclo de modelización matemática continua: Reconocer → Expresar / Usar → Evaluar → Revisar. Esta secuencia garantiza que el estudiante experimente la matemática como una actividad dinámica de construcción, validación y refinamiento de modelos frente a contextos del mundo real.
Síntesis de referentes:
- Arcavi, Drijvers y Stacey (2017): El symbol sense implica leer la estructura global antes de calcular, interrumpir el cálculo automático, reconocer equivalencias con significados geométricos distintos, transitar entre proceso y objeto, y «desmodelizar» (reconstruir el origen de una expresión).
- Beltrán-Juste: Situación de aprendizaje = escenario significativo en el que el contenido emerge de la resolución de problemas. El contexto no tiene que ser «vida cotidiana real»; basta con que sea cercano e imaginable en la mente del alumnado.
- Ciclo de modelización: Reconocer la necesidad de un modelo → Expresar/Usar → Evaluar → Revisar (cíclico).
3. PRESENTACIÓN DEL PROBLEMA AL ALUMNADO
SITUACIÓN PROBLEMA
Un productor apícola quiere instalar una hilera de colmenares hexagonales (celdas grises) para producir miel. Para protegerlas del viento y los depredadores necesita rodearlas completamente con paneles aislantes hexagonales (celdas blancas), según el modelo de la figura.
Preguntas del problema:
a. ¿Cuántos paneles aislantes necesitará para los 100 colmenares?
b. ¿Cómo puedes calcular el número de paneles necesarios para un número cualquiera de colmenares?
c. El apicultor ha comprado exactamente 122 paneles aislantes. ¿Cuántos colmenares hexagonales puede instalar en una sola hilera?
d. Si el proveedor vende un paquete cerrado de 150 paneles, ¿es posible construir una hilera completa sin que sobre ni falte ningún panel? Justifica tu respuesta.
Clave Pedagógica (Symbol sense): «Para entender el patrón, vamos a hacer algo importante: no vamos a calcular los totales. En su lugar, vamos a escribir cómo contaríamos los paneles para cada caso. Queremos ver la estructura, no el resultado.»
Otra alternativa: https://recullfm.feemcat.org/wp-content/uploads/2024/05/FM04_1ESO_F2_Jardineres.pdf (Fem Matemàtiques 2004, APaMMs, 1r ESO)
La gestión del aula se realiza organizando a los estudiantes en Building Thinking Classrooms.
La secuencia progresa a través de cuatro fases didácticas:
Fase 1: Lanzamiento de la Situación Problema (Sin instrucción previa)
Se proyecta y entrega la ilustración geométrica de las colmenas y Pattern Blocks sin dar ninguna fórmula, definición de variable ni tabla prediseñada. El docente lanza el reto inicial: «¿Cuántos paneles se necesitan para 100 colmenas y cómo podemos explicárselo al apicultor?»
Fase 2: Indagación en Equipos y Construcción Autónoma del Registro
Los estudiantes investigan en la pizarra vertical o en mesa con los Pattern Blocks. Para evitar la compulsión de sumar números inmediatamente, el docente interviene mediante andamiaje promoviendo el uso de expresiones no cerradas (por ejemplo: 6, 6+4, 6+4+4). Cada equipo diseña libremente su tabla o esquema de organización de datos.
Fase 3: Puesta en Común y Negociación de Significados
El docente selecciona producciones con distintas estrategias de conteo visual (lados/esquinas, secuencial, filas/columnas). A través de la discusión colectiva, se demuestra la equivalencia algebraica entre fórmulas y se institucionalizan los conceptos de variable, función lineal y expresión equivalente.
Fase 4: Consolidación, Tareas Inversas y Extensión
Se consolidan las competencias mediante el razonamiento de ‘deshacer’ (operaciones inversas), la desmodelización (dibujar lo que representa una expresión dada) y el análisis de errores frecuentes de juntura . Libreta de las Grandes Ideas Matemáticas.
5. MÓDULOS DE LA SECUENCIA DIDÁCTICA
MÓDULO 1 · Exploración visual y expresiones no cerradas
Fase del ciclo: Reconocer + Expresar/Usar
El objetivo es mantener visible la «historia del conteo».
| n (colmenares) | Expresión no cerrada (cómo contarías) | Esquema / Nota del conteo |
|---|---|---|
| 1 | 6 | 1 hexágono completo (6 lados) |
| 2 | 6 + 4 | 6 del primero + 4 del segundo |
| 3 | 6 + 4 + 4 | 6 inicial + 2 veces 4 |
| 4 | 6 + 4 + 4 + 4 | 6 inicial + 3 veces 4 |
| 5 | 6 + 4 + 4 + 4 + 4 | 6 inicial + 4 veces 4 |
| 10 | 6 + 4 · 9 | 6 inicial + 9 veces 4 |
| 50 | 6 + 4 · 49 | 6 inicial + 49 veces 4 |
| n | 6 + 4(n – 1) | 6 inicial + (n-1) veces 4 |
Preguntas de andamiaje (Módulo 1)
| Código | Pregunta | Respuesta esperada / Orientación didáctica |
|---|---|---|
| P1 | En la expresión para n = 50, ¿qué representa el número 6 inicial? | Representa los 6 paneles que rodean completamente el primer colmenar (hexágono inicial). |
| P2 | ¿Qué representa el número 4 y cuántas veces se repite? | El 4 representa los paneles nuevos que se añaden por cada colmenar adicional. Se repite (n-1) veces. |
| P3 | ¿Por qué es importante no sumar todavía los números de la expresión? | Porque al sumar se pierde la estructura del patrón. Mantener la expresión no cerrada permite ver cómo crece el número de paneles y facilita la generalización. |
| P4 | ¿Qué representa la letra n? | n representa el número (cantidad) de colmenares. No es un objeto físico (evitar el error de la «ensalada de frutas»). |
MÓDULO 2 · Diversidad de estructuras y equivalencias
Fase del ciclo: Expresar/Usar + Evaluar
Los equipos buscan otras formas de contar sobre la misma figura. Cada expresión revela una visualización distinta.
Estrategias esperadas:
- Secuencial: P₁ = 6 + 4(n – 1) → empezar con un hexágono y añadir 4 por cada colmenar extra.
- Lados + extremos: P₂ = 4n + 2 → 4 paneles por colmenar + 2 paneles fijos en los extremos de la hilera.
- Filas y columnas: P₃ = 2n + 2(n + 2) – 2 → dos filas de n + dos «columnas» de n+2, restando las 2 esquinas duplicadas.
Preguntas de andamiaje (Módulo 2)
| Código | Pregunta | Respuesta esperada / Orientación didáctica |
|---|---|---|
| P5 | ¿Cómo contó el otro equipo para obtener una fórmula distinta a la vuestra? | (Respuesta abierta). Se espera que comparen visualizaciones: uno ve «añadir 4», otro ve «4 por cada uno más 2 fijos», etc. |
| P6 | Si simplificáis las tres expresiones, ¿obtenéis lo mismo? ¿Qué se pierde al simplificar? | Sí, las tres equivalen a 4n + 2. Al simplificar se unifica la fórmula, pero se borra el significado geométrico de origen (cómo se visualizó y contó cada región de la figura). |
| P7 | Demostrad que 6 + 4(n – 1) = 4n + 2. | 6 + 4(n – 1) = 6 + 4n – 4 = 4n + 2. (Distributiva y reducción de términos semejantes). |
MÓDULO 3 · Tareas inversas y desmodelización
Fase del ciclo: Evaluar + Revisar
3.1. Undoing (deshacer operaciones) — pregunta c
El apicultor dispone de 122 paneles. ¿Cuántos colmenares puede instalar?
| Código | Pregunta | Respuesta esperada / Orientación didáctica |
|---|---|---|
| P8 | Antes de plantear la ecuación, ¿puedes «deshacer» las operaciones mentalmente? | Partimos de P = 4n + 2 = 122. Restamos los 2 paneles fijos: 122 – 2 = 120. Dividimos entre 4: 120 / 4 = 30 colmenares. |
| P9 | Comprueba con la fórmula: 4 · 30 + 2 = ¿? | 120 + 2 = 122. Correcto. |
3.2. Desmodelización
Dada la expresión P = 2(n + 2) + 2n – 2, dibuja sobre la red hexagonal qué regiones se contaron con cada término.
| Código | Pregunta | Respuesta esperada / Orientación didáctica |
|---|---|---|
| P10 | ¿Qué parte de la figura representa el 2(n + 2)? ¿Y el 2n? ¿Por qué se resta 2? | 2(n + 2) puede representar dos «bandas» laterales (o superiores/inferiores) de longitud n+2; 2n las dos filas centrales de n paneles; se resta 2 porque las esquinas se han contado dos veces. |
3.3. Inspección a priori e imposibilidad — pregunta d
Paquete de 150 paneles. ¿Es posible una hilera completa sin que sobre ni falte ninguno?
| Código | Pregunta | Respuesta esperada / Orientación didáctica |
|---|---|---|
| P11 | Antes de dividir, observa la estructura 4n + 2. ¿Qué debe cumplirse para que exista solución entera? | 4n + 2 = 150 → 4n = 148 → n = 37. Como 148 es divisible por 4, sí es posible (exactamente 37 colmenares). Si el resto de (150 − 2) al dividir entre 4 no fuera 0, sería imposible. |
MÓDULO 4 · Práctica productiva y «El Detective Algebraico»
Fase del ciclo: Revisar
Un estudiante simplificó 6 + 4(n – 1) y obtuvo 10n – 10. Analizad el error.
| Código | Pregunta | Respuesta esperada / Orientación didáctica |
|---|---|---|
| P12 | ¿Qué error de «juntura» ha cometido? ¿Por qué ocurre? | Ha sumado 6 + 4 = 10 y ha aplicado el 10 a (n – 1), obteniendo 10(n – 1) = 10n – 10. Es la tendencia al cierre prematuro: necesidad de obtener un resultado que «parezca» una expresión más simple, sin respetar la estructura de la expresión original. |
| P13 | Demostrad que no son equivalentes evaluando para n = 3. | Expresión correcta: 6 + 4(3 – 1) = 6 + 8 = 14. Expresión errónea: 10 · 3 – 10 = 20. Como 14 ≠ 20, no son equivalentes. |
| P14 | Inventad vosotros un error típico similar y pedid al otro equipo que lo detecte. | (Producción propia del alumnado). Ejemplo posible: transformar 4n + 2 en 6n, etc. |
MÓDULO 5 · Función lineal y paso a parámetros
Fase del ciclo: Expresar/Usar + Evaluar
Conexión con la función lineal P(n) = 4n + 2. Identificación de pendiente y ordenada en el origen.
| Código | Pregunta | Respuesta esperada / Orientación didáctica |
|---|---|---|
| P15 | ¿Qué representa el número 4 en la función P(n) = 4n + 2? | Es la pendiente (tasa de variación constante): por cada colmenar adicional se necesitan 4 paneles más. |
| P16 | ¿Qué representa el número 2? | Es la ordenada en el origen: los 2 paneles fijos de los extremos de la hilera (estructura que no depende de n). |
| P17 | Si tuviéramos k hileras de n colmenares cada una, ¿cómo cambiaría la expresión? | (Extensión). Aparecería un parámetro k. Por ejemplo, algo del tipo P(n, k) = … (se deja abrir a la exploración del alumnado). |
Nota: Este módulo no se realizó en 5º de EP, pero se incluye como extensión para cursos superiores o alumnado avanzado.
MÓDULO 6 · Cierre meta-matemático y producto final
Fase del ciclo: Revisar (cierre)
Preguntas de cierre meta-matemáticas
| Código | Pregunta | Respuesta esperada / Orientación didáctica |
|---|---|---|
| P18 | ¿Qué ventajas tiene el lenguaje algebraico frente al conteo aritmético uno a uno? | Permite generalizar a cualquier número de colmenares, predecir, resolver problemas inversos y detectar imposibilidades sin dibujar ni contar caso a caso. |
| P19 | ¿Cuándo conviene «parar» el cálculo automático y mirar la estructura? | Cuando la expresión tiene una estructura reconocible (factores comunes, numerador = denominador, forma 4n+2, etc.) que permite concluir sin operar todos los pasos. |
| P20 | ¿Qué se pierde cuando simplificamos una expresión algebraica? | Se unifica la fórmula, pero se borra el significado geométrico de origen (cómo se visualizó y contó cada región de la figura). |
Producto final evaluable: «Manual del Apicultor Matemático» opcinal
Elaborad un manual que contenga:
- Al menos 3 expresiones equivalentes con su justificación geométrica (dibujo + explicación).
- La función P(n) = 4n + 2 interpretada: qué representa el 4 (pendiente) y el 2 (ordenada en el origen).
- Resolución de las preguntas c y d (tareas inversas e imposibilidad).
- Una reflexión personal sobre qué ha significado el sentido de los símbolos en esta situación.
6. ANEXOS
ANEXO I · Ciclo de Modelización Matemática (Resumen del recorrido por el ciclo)
| Fase | Qué hace el alumnado en este problema | Vinculación Didáctica |
| 1. Reconocer | Se da cuenta de que contar panel a panel no sirve para 100 colmenares necesita un modelo. | Necesidad de un lenguaje de generalización (symbol sense). |
| 2. Expresar/Usar | Escribe expresiones no cerradas, genera varias fórmulas, usa el modelo para calcular y deshacer. | Expresiones no cerradas + equivalencias con significados distintos. |
| 3. Evaluar | Comprueba si 122 y 150 encajan; detecta errores de juntura; valida equivalencias. | Inspección a priori e interrupción del cálculo automático. |
| 4. Revisar | Mejora el modelo (pasa a 4n+2), incorpora parámetros, aplica a situaciones nuevas. | El contenido emerge de la resolución de problemas |
| Fase | Actividad | Qué hace el alumnado | Vinculación didáctica |
|---|---|---|---|
| 1. Reconocer | A1: Presentación del problema del apicultor | Se da cuenta de que contar panel a panel no sirve para 100 colmenares. | Necesidad de un lenguaje de generalización (symbol sense). |
| 2. Expresar/Usar | A2, A3: Tabla de expresiones no cerradas y diversidad de fórmulas | Escribe expresiones no cerradas, genera varias fórmulas, usa el modelo para calcular y deshacer. | Expresiones no cerradas + equivalencias con significados distintos. |
| 3. Evaluar | A4, A5: Tareas inversas, imposibilidad y Detective Algebraico | Comprueba si 122 y 150 encajan; detecta errores de juntura; valida equivalencias. | Inspección a priori e interrupción del cálculo automático. |
| 4. Revisar | A6, A7: Base de orientación y transferencia a nuevos escenarios | Mejora el modelo (pasa a 4n+2), incorpora parámetros, aplica a situaciones nuevas. | El contenido emerge de la resolución de problemas. |
ANEXO II · Rutina de Pensamiento «Conecta – Extiende – Desafía»
Marco reflexivo para la metodología Thinking Classroom (equipos de 3 en pizarras verticales). Carles Granell & Yolanda Martín
| Fase | Preguntas guía | Acciones concretas en esta situación |
|---|---|---|
| CONECTA (Vincular y relacionar) | ¿Qué relación hay entre la expresión numérica y la figura geométrica? ¿Cómo contó el otro equipo? ¿Qué conocimientos previos nos ayudan? | • Vincular las expresiones no cerradas (6, 6+4, 6+4+4) con la figura de los hexágonos. • Relacionar las fórmulas de distintos equipos (6+4(n-1) y 4n+2) reconociendo equivalencias. • Conectar con patrones numéricos, figuras geométricas y teselaciones. |
| EXTIENDE (Generalizar y trasladar) | ¿Cómo cambia la fórmula si en lugar de 1 hilera tenemos k hileras? ¿Qué pasaría con otras figuras geométricas? ¿Podemos reificar la expresión como un objeto? | • Generalizar el modelo desde casos particulares hacia expresiones formales con variables (n, k). • Reificar la expresión como un objeto sólido que puede ser manipulado. • Extender a nuevas situaciones: otras figuras geométricas, otras configuraciones. |
| DESAFÍA (Cuestionar y superar retos) | ¿Podemos calcular sin sumar? ¿Qué pasa si el número de paneles no es divisible? ¿Es correcto este error de juntura? | • Superar la compulsión de calcular sumando 6+4 mediante expresiones no cerradas. • Invertir procesos para resolver tareas de desmodelización e imposibilidad. • Cuestionar los errores propios y ajenos mediante el análisis crítico. |
ANEXO III · Indicadores de Evaluación Formativa (Estrellas)
Niveles de profundidad: ★ = Nivel 1 (Aprendiz), ★★ = Nivel 2 (En progreso), ★★★ = Nivel 3 (Avanzado).
| Código | Indicador de logro | ★ Nivel 1 | ★★ Nivel 2 | ★★★ Nivel 3 |
|---|---|---|---|---|
| 5.1 | Registro con expresiones no cerradas sin precipitar el cálculo. | Calcula totales numéricos inmediatamente. | Usa expresiones no cerradas solo al inicio. | Mantiene expresiones no cerradas para visibilizar el patrón. |
| 5.2 | Generalización asociando variables a cantidades (evita «ensalada de frutas»). | Asocia letras a objetos físicos. | Asocia letras a cantidades pero con ayuda. | Generaliza autónomamente asociando variables a cantidades numéricas. |
| 5.3 | Reconoce que expresiones equivalentes pueden tener significados geométricos distintos. | No distingue expresiones equivalentes. | Reconoce equivalencia pero no explicita significados. | Reconoce equivalencia y explica qué se pierde al simplificar. |
| 5.4 | Pensamiento inverso e inspección a priori de posibilidad/imposibilidad. | No logra resolver tareas inversas. | Resuelve por algoritmo sin explicar el gráfico. | Desmodela expresiones y detecta imposibilidades a priori. |
| 5.5 | Desmodeliza expresiones reconstruyendo el conteo geométrico. | No logra dibujar lo que representa una expresión. | Dibuja parcialmente lo que representa una expresión. | Dibuja y justifica qué región cuenta cada término de la expresión. |
| 5.6 | Detecta y corrige errores de juntura / tendencia al cierre. | No identifica errores. | Identifica el error pero no lo justifica. | Identifica, justifica y propone contraejemplos para demostrar la no equivalencia. |
| 5.7 | Comunica y argumenta hallazgos en la pizarra de equipo. | Tratamiento individual o dominado por un miembro. | Se reparten tareas con poca discusión matemática. | Colaboran activamente y justifican sus hallazgos ante la clase. |
ANEXO IV · Base de Orientación para el Alumnado
«¿Cómo podemos calcular los paneles necesarios para cualquier número de colmenares?»
Paso 1: Reconocer la necesidad de un modelo
- ¿Podemos contar panel a panel para 100 colmenares? ¿Por qué no?
- ¿Qué necesitamos para generalizar?
Paso 2: Expresar el patrón con expresiones no cerradas
- ¿Cómo contarías los paneles para n = 1, 2, 3, 4, 5…?
- Escribe la expresión sin sumar los números: 6, 6+4, 6+4+4, …
- ¿Qué representa el 6? ¿Y el 4? ¿Cuántas veces se repite?
Paso 3: Generalizar
- Para n colmenares: P(n) = 6 + 4(n-1)
- ¿Podemos simplificar? P(n) = 4n + 2
- ¿Qué representa el 4? ¿Y el 2?
Paso 4: Evaluar y revisar
- ¿Funciona para n = 100? P(100) = 4·100 + 2 = 402
- ¿Y si tenemos 122 paneles? Deshacemos: (122 – 2) / 4 = 30 colmenares.
- ¿Y si tenemos 150 paneles? 150 – 2 = 148; 148 / 4 = 37. Sí es posible.
- ¿Qué pasa si el número no es divisible? Entonces no es posible una hilera completa.
Paso 5: Transferir a nuevos escenarios
- ¿Y si tuviéramos k hileras de n colmenares?
- ¿Y si quisiéramos rodear las colmenas con dos capas de paneles?
ANEXO V · Fotos del Aula de Chus Siaba
- Referencias
- Arcavi, A., Drijvers, P. y Stacey, K. (2017). The Learning and Teaching of Algebra: Ideas, Insights, and Activities. Routledge.
- Arcavi, A. (1994). Symbol sense: Informal sense-making in formal mathematics. For the Learning of Mathematics, 14(3), 24–35.
- Arcavi, A. (2005). Developing and using symbol sense in mathematics. For the Learning of Mathematics, 25(2), 42–47.
- Beltrán-Pellicer, P. y Martínez-Juste, S. (2021). Enseñar a través de la resolución de problemas. Suma, 98, 11–21.
- Beltrán-Pellicer, P. (2022). El contexto, la vida cotidiana y las situaciones de aprendizaje. tierradenumeros.com