El desarrollo del concepto de patrón y la generalización algebraica (II)

De la observación del patrón al sentido del símbolo: Aportes de Arcavi, Drijvers y Stacey para la didáctica de la generalización algebraica

Resumen
El presente artículo de investigación y reflexión pedagógica profundiza en el desarrollo del pensamiento algebraico a través de la generalización de patrones figurativos y numéricos. Partiendo de las premisas planteadas en la primera entrega de esta serie, se integra el marco teórico expuesto por Abraham Arcavi, Paul Drijvers y Kaye Stacey en su obra The Learning and Teaching of Algebra: Ideas, Insights, and Activities (2017). Se examina el ciclo cognitivo de la generalización, el valor estructural de las expresiones no cerradas, el abordaje del sesgo de “cierre prematuro”, el desarrollo de la equivalencia mediante el conteo visual múltiple, la transición dialéctica entre la visión de proceso y de objeto, y las condiciones didácticas que permiten que la generalización adquiera sentido de propósito para los estudiantes.

1. Introducción: La generalización como corazón del álgebra escolar

En la enseñanza tradicional de la matemática, el álgebra con frecuencia se introduce como una mera manipulación de reglas sintácticas y algoritmos de simplificación. Sin embargo, como señalan Arcavi, Drijvers y Stacey (2017), uno de los propósitos fundamentales del álgebra escolar es expresar generalizaciones mediante el uso de letras para manejar clases enteras de números u objetos matemáticos.

Dar continuidad al estudio de los patrones numéricos y figurativos —propuesto en la primera parte de esta publicación— implica comprender que la generalización no es un hecho aislado o instantáneo. Es un proceso progresivo que conecta la intuición visual y aritmética con el razonamiento estructural del álgebra. Para lograr que los estudiantes no vean el álgebra como un conjunto de procedimientos vacíos, resulta indispensable dotarlos de sentido del símbolo (symbol sense), entendido como la capacidad de extraer significado, reconocer estructuras y “leer a través” de las expresiones algebraicas (Arcavi, 1994, 2005). Este sentido permite que la manipulación de símbolos deje de ser ritualística y se convierta en una herramienta de comprensión y de poder matemático.

2. El ciclo cognitivo ante una secuencia: Notar, describir, denotar y representar

Al enfrentarse a un patrón visual o numérico, los estudiantes realizan un conjunto de acciones físicas y mentales que articulan el paso de la observación a la simbolización formal. Arcavi et al. (2017) estructuran este proceso en cuatro momentos interconectados:

• Notar (Noticing): Identificar dentro de la secuencia qué elementos se mantienen invariantes y cuáles cambian de forma sistemática. En una secuencia de arreglos geométricos, implica distinguir la constante de la variación lineal o cuadrática.
• Describir (Describing): Verbalizar en lenguaje natural las regularidades detectadas, explicando con palabras propias la regla que rige el crecimiento o la forma de la figura.
• Denotar (Denoting): Asignar símbolos o letras para nombrar las variables involucradas, reconociendo a la letra en su faceta de número generalizado.
• Representar (Representing): Consolidar la relación observada mediante tablas, gráficos o expresiones algebraicas formales que sintetizan la ley general del patrón.

Un ejemplo ilustrativo es el problema de las cerillas (Arcavi et al., 2017; Hershkowitz, Arcavi y Bruckheimer, 2001):

¿Cuántas cerillas se necesitan para el cuadrado de $n \times n$ de la secuencia?

La observación permite identificar qué elementos permanecen constantes a lo largo de la secuencia y qué cambia y de qué manera. Por ejemplo:

(a) las figuras son siempre cuadrados;
(b) existe un aumento regular (lineal) en el número de cerillas;
(c) es necesario resistir la tendencia inicial a multiplicar por cuatro el número de cuadrados unitarios, ya que las cerillas interiores se contarían dos veces.

Algunos estudiantes intentan generalizar a partir de casos particulares:

Tamaño	1×1	2×2	3×3	4×4	5×5
Cerillas	4	12	24	40	60

Otros proceden a observar, describir y representar a partir de regularidades visuales. Descomponiendo la configuración se observa que hay una figura que usa cuatro cerillas, dos cadenas laterales con $n-1$ figuras de tres cerillas y $(n-1)^2$figuras de dos cerillas. El total resulta $2(n^2 + n)$

Diferentes métodos de conteo generan distintas formas de la expresión algebraica. La tarea didáctica consiste entonces en demostrar que esas expresiones son equivalentes, manipulándolas mediante propiedades algebraicas. Este ciclo enfatiza que la fórmula no debe ser el punto de partida impuesto por el docente, sino el resultado emergente de la actividad de notar y describir las estructuras presentes.

3. El propósito y los contextos: autenticidad, imaginabilidad y negociación de significados

Una de las preguntas más frecuentes que formula el estudiante es: «¿Y esto para qué sirve?». Arcavi et al. (2017) subrayan que el sentido de propósito no puede posponerse indefinidamente. La generalización de patrones ofrece, en principio, un terreno privilegiado para responder a esa pregunta, porque los patrones están presentes en ritmos, diseños, construcciones y fenómenos naturales. Sin embargo, no toda tarea contextualizada resulta significativa.

Existe el riesgo de presentar situaciones que, bajo apariencia realista, esconden artificialidad. El ejemplo del césped que se amplía con franjas de anchura constante hasta alcanzar un área prefijada (Arcavi et al., 2017) ilustra el problema: la situación invita a plantear una ecuación cuadrática, pero es poco creíble que alguien no mida primero la anchura deseada. El estudiante detecta la artificialidad y termina extrayendo la ecuación “que el libro quiere” sin vivir el álgebra como herramienta de empoderamiento.

En línea con la fenomenología didáctica de Freudenthal (1983), resulta más útil hablar de contextos realistas en el sentido de “imaginables para el estudiante” que de contextos “tomados de la vida real”. Un criterio decisivo es que la tarea tenga un resultado significativo para el aprendiz: un producto, la solución de un problema atractivo o una argumentación. El problema de las vigas formadas por barras soldadas en triángulos (Wijers et al., 2006; citado en Arcavi et al., 2017) es un ejemplo de situación que los estudiantes perciben como significativa: genera múltiples expresiones equivalentes y abre un espacio rico de discusión sobre equivalencia y reescritura.

La figura muestra diversas fórmulas algebraicas elaboradas por los estudiantes, cada una de las cuales refleja una estrategia de resolución distinta. En estas ecuaciones, N representa el número de barras necesarias para una viga de longitud L, y dicha longitud L corresponde al número total de bases triangulares utilizadas para formar la viga. La primera ecuación, formulada por los estudiantes, expresa la construcción de la viga a partir de L triángulos (lo que implica 3L lados) dispuestos en una fila.

La enseñanza de la generalización no es un proceso de transmisión unidireccional. Diferentes estudiantes interpretan una misma secuencia de formas distintas: uno ve una adición recursiva, otro superposiciones, otro un centro fijo con brazos que crecen. Estas interpretaciones no son erróneas; son parciales. El docente debe reconocerlas, valorarlas y utilizarlas como punto de partida. La discusión colectiva sobre qué permanece igual y qué cambia constituye una negociación de significados que conduce a la simbolización. Cuando se confrontan varias expresiones equivalentes surgidas de distintas descomposiciones visuales, los estudiantes experimentan que el álgebra permite mostrar la equivalencia de formas de contar aparentemente distintas. Esa experiencia es más potente que cualquier explicación verbal sobre “expresiones equivalentes”.

4. Obstáculos cognitivos: Cierre prematuro y la necesidad de expresiones “no cerradas”

Uno de los mayores desafíos en la transición de la aritmética al álgebra es la ruptura con la concepción operativa del signo igual y de la expresión matemática. En la aritmética elemental, el signo igual actúa como una instrucción de “calcular ahora”: $46 + 91$ demanda de inmediato la respuesta numérica 137.

Cuando los alumnos trasladan esta expectativa al álgebra, experimentan la tendencia al cierre (tendency to closure) o la dificultad con la dualidad proceso-producto. Ante una expresión como $h + 10$, sienten la necesidad insatisfecha de “hacer algo”, lo que frecuentemente deriva en errores de yuxtaposición ($10h$) o en sumas de términos no semejantes ($2a + 5b = 7ab$).

Para superar esta barrera, Arcavi et al. (2017) destacan el valor pedagógico de trabajar con expresiones no cerradas (unclosed expressions). Al analizar un patrón, en lugar de solicitar únicamente los totales numéricos, es revelador registrar la secuencia de operaciones sin calcular:

$$1,\quad 1+2,\quad 1+2+3,\quad 1+2+3+4,\ \dots$$

Mantener las expresiones en su forma “no calculada” permite que la estructura matemática subyacente permanezca visible. Dichas expresiones funcionan como un puente didáctico directo hacia la generalización algebraica, enseñando al alumno que una expresión simbólica puede representar simultáneamente un proceso de cálculo y un objeto matemático en sí mismo.

5. Conteo visual múltiple, equivalencia e inspección simbólica

El trabajo con patrones figurativos ofrece un terreno idóneo para abordar el concepto de equivalencia algebraica. Un ejemplo clásico analizado por Arcavi et al. (2017) es el problema del borde de una cuadrícula de $n \times n$.

Al pedir a distintos grupos que cuenten las celdas sombreadas del borde, surgen diversas estrategias visuales que se traducen en expresiones distintas:

• Estrategia A: Cuatro lados de longitud $n-1$→ $4(n-1)$
• Estrategia B: Filas superior e inferior completas más laterales sin esquinas → $2n + 2(n-2)$
• Estrategia C: Cuatro tramos internos más las cuatro esquinas → $4(n-2) + 4$

Esta multiplicidad genera un espacio reflexivo de alto valor pedagógico:

1. Des-simbolización y lectura (unsymbolizing & reading): Se invita a los estudiantes a inspeccionar la expresión escrita por otro compañero para reconstruir qué forma de conteo visual la originó.
2. Demostración de equivalencia: Se utiliza la manipulación sintáctica y la propiedad distributiva para transformar formalmente $2n + 2(n-2)$ o $4(n-2) + 4$ en $4n – 4$, demostrando que todas representan la misma entidad matemática sin necesidad de evaluar caso por caso.

A veces, la acción de leer cuidadosamente una expresión no está ligada al proceso de su construcción, pero resulta útil para reducir el trabajo procedimental. Considérese la ecuación

$$\frac{x^2 – 1}{x^2 + 1} = x^2 + 1.$$

Siguiendo el consejo de Freudenthal (1983, p. 469) de rechazar la idea de que “cuando empieza el cálculo, termina el pensamiento”, se observa que el lado izquierdo es siempre menor que 1 (el numerador es menor que el denominador), mientras que el lado derecho es siempre mayor que 1. Por tanto, la ecuación no tiene soluciones reales. La lectura de la expresión no solo ahorra trabajo procedimental propenso a error, sino que reconecta con las relaciones que la ecuación representa. Esto constituye un antídoto contra la percepción generalizada de que el álgebra se reduce a la aplicación ritualística de procedimientos.

6. La reificación y la dualidad proceso-objeto

El desarrollo del pensamiento algebraico maduro requiere alcanzar lo que Sfard (1991) denomina reificación: la transición cognitiva mediante la cual un proceso operativo se condensa y se concibe como un objeto mental unificado.

En el contexto de la generalización de patrones y funciones:

• Perspectiva de proceso: El estudiante concibe la regla $f(n) = 3n + 1$como una secuencia de instrucciones paso a paso (tomar la posición $n$, multiplicarla por 3 y sumar 1).
• Perspectiva de objeto: El estudiante concibe $3n + 1$ como una entidad global susceptible de ser comparada con otra función, igualada a una constante, graficada o integrada dentro de una familia de funciones.

La enseñanza efectiva debe fomentar la versatilidad proceptual (Gray y Tall, 1994), capacitando al alumno para alternar con flexibilidad entre desempaquetar el proceso de cálculo y operar con la expresión como un objeto estructurado, según lo demande la situación problemática.

7. Orientaciones para el aula: Práctica productiva y tareas inversas

Para consolidar estos aprendizajes, Arcavi, Drijvers y Stacey (2017), apoyándose en los trabajos de Kindt (2011) y Friedlander y Arcavi (2012), proponen superar la ejercitación repetitiva y mecanicista mediante la práctica productiva. Las tareas de práctica productiva integran el desarrollo de la fluidez técnica con la activación de la percepción estructural. Se sugieren las siguientes estrategias:

• Preguntas inversas (reverse questions): En lugar de pedir la expansión directa de un producto de binomios, se presentan ejercicios de inserción estratégica de paréntesis o completamiento de espacios en blanco:

$$\_\_\_ + 6x + \_\_\_ = (\_\_\_ + \_\_\_)^2$$

Esto fuerza al estudiante a reflexionar sobre la estructura antes de aplicar un algoritmo automatizado.

• Producciones propias (own productions): Invitar a los alumnos a crear sus propios patrones geométricos o secuencias numéricas y redactar desafíos para sus compañeros. Diseñar un patrón con una regla específica requiere un dominio cualitativamente superior al de la simple resolución de un ejercicio del libro de texto.
• Análisis y explotación de errores: Analizar explícitamente en clase soluciones incorrectas típicas (como cancelar términos inadecuadamente en fracciones algebraicas o confundir la diferencia constante con la regla general) para transformar el error en una oportunidad de discusión sobre la estructura y las propiedades de las operaciones (Borasi, 1987; Arcavi et al., 2017).

8. Conclusión

El desarrollo del concepto de patrón no es un fin en sí mismo, sino el vehículo primordial para ingresar al universo del pensamiento algebraico. A la luz de las contribuciones de Arcavi, Drijvers y Stacey (2017), la labor del docente consiste en acompañar al estudiante a lo largo del ciclo de generalización, ofrecer contextos imaginables y con sentido de propósito, promover el uso de expresiones no cerradas para visibilizar la estructura, articular el conteo visual con la equivalencia formal y favorecer el tránsito fluido entre las visiones de proceso y objeto. Incorporar este enfoque en las aulas transforma la clase de matemática en un espacio de indagación, negociación de significados, argumentación y verdadero desarrollo del sentido del símbolo.

Referencias

Ainley, J., Bills, L., & Wilson, K. (2005). Designing spreadsheet-based tasks for purposeful algebra. International Journal of Computers for Mathematical Learning, 10(3), 191–215.
Arcavi, A. (1994). Symbol sense: Informal sense-making in formal mathematics. For the Learning of Mathematics, 14(3), 24–35.
Arcavi, A. (2005). Developing and using symbol sense in mathematics. For the Learning of Mathematics, 25(2), 42–47.
Arcavi, A., Drijvers, P., & Stacey, K. (2017). The Learning and Teaching of Algebra: Ideas, Insights, and Activities. Routledge.
Borasi, R. (1987). Exploring mathematics through the analysis of errors. For the Learning of Mathematics, 7(3), 2–8.
Carpenter, T. P., Franke, M. L., & Levi, L. (2003). Thinking Mathematically: Integrating Arithmetic & Algebra in Elementary School. Heinemann.
Collis, K. F. (1974). Cognitive Development and Mathematics Learning. Psychology of Mathematics Education.
Friedlander, A., & Arcavi, A. (2012). How to practice it: An integrated approach to algebraic skills. Mathematics Teacher, 105(8), 608–614.
Freudenthal, H. (1983). Didactical Phenomenology of Mathematical Structures. Reidel.
Gray, E. M., & Tall, D. O. (1994). Duality, ambiguity, and flexibility: A “proceptual” view of simple arithmetic. Journal for Research in Mathematics Education, 25(2), 116–140.
Hershkowitz, R., Arcavi, A., & Bruckheimer, M. (2001). Reflections on the status and nature of visual reasoning – The case of the matches. International Journal of Mathematical Education in Science and Technology, 32(2), 255–265.
Kieran, C. (1992). The learning and teaching of school algebra. En D. A. Grouws (Ed.), Handbook of Research on Mathematics Teaching and Learning (pp. 390–419). Macmillan.
Kindt, M. (2011). Principles of practice. En P. Drijvers (Ed.), Secondary Algebra Education: Revisiting Topics and Themes and Exploring the Unknown (pp. 137–178). Sense Publishers.
Küchemann, D. (1981). Algebra. En K. M. Hart (Ed.), Children’s Understanding of Mathematics: 11–16 (pp. 102–119). Alden Press.
Sfard, A. (1991). On the dual nature of mathematical conceptions: Reflections on processes and objects as different sides of the same coin. Educational Studies in Mathematics, 22(1), 1–36.
Wijers, M. et al. (2006). Building formulas. En Mathematics in Context. Encyclopedia Britannica / Freudenthal Institute.

dibujo muñeco:Ben Orlin