El desarrollo del concepto de patrón y la generalización algebraica

Un marco para la transición de la aritmética al álgebra.

1. Introducción: El patrón como núcleo del pensamiento matemático

El patrón y las actividades de patronaje son omnipresentes en el entorno y constituyen ideas centrales e instructivas en la disciplina matemática. Desde antes del inicio de la escolarización formal, la infancia interactúa espontáneamente con patrones mediante el juego, la música, la lectura y los rompecabezas, manifestando una curiosidad natural hacia la identificación de regularidades.

En la Didáctica de las Matemáticas, el patrón se define como cualquier regularidad predecible que involucra relaciones numéricas, espaciales o lógicas. Por su parte, el patronaje hace referencia a la actividad de búsqueda, identificación y construcción de regularidades y estructuras matemáticas.

Diversos investigadores afirman que «los patrones son el corazón y el alma de las matemáticas» (Zazkis & Liljedahl, 2002). De igual modo, para el profesional de las matemáticas, la investigación se inicia con la exploración lúdica: contempla patrones, manipula ideas, analiza regularidades y explora lo verdadero (Su, 2020). En el ámbito escolar, la enseñanza del patrón se articula en tres grandes tipologías de contextos:

1. Patrones repetitivos: Presentan un ciclo recurrente o secuencia periódica identica (motivo o unidad de repetición).
2. Patrones estructurales espaciales: Incluyen configuraciones de subitización, formas geométricas, matrices, unidades de medida y organización de datos.
3. Patrones crecientes (o decrecientes): Secuencias cuyos elementos varían en cantidad, dimensión o escala bajo un criterio predecible de cambio.

Esta clasificación es fundamental para comprender cómo los niños desarrollan gradualmente el pensamiento algebraico, pues cada tipo de patrón ofrece oportunidades distintas para la generalización y la simbolización.

2. Relación con el desarrollo cognitivo y el logro matemático posterior

La investigación educativa fundamenta de forma consistente que la comprensión temprana de patrones mantiene una asociación positiva directa con el rendimiento matemático posterior, de forma destacada en la creatividad matemática y en el desarrollo del pensamiento algebraico

Procesos Cognitivos Implicados

Pensamiento espacial	Uso de imágenes visuales y de visualización y manipulación mental.
Memoria de trabajo	Mantenimiento y procesamiento dinámico de secuencias.
Razonamiento fluido	Capacidad de resolver problemas en contextos abstractos y novedosos.

Esta vinculación se explica porque las tareas de patronaje orientan la atención del alumnado hacia la estructura matemática y las relaciones subyacentes. Con ello se fomenta:

• El sentido del símbolo y la estructura.
• La habilidad de generalización.
• La comprensión incipiente del concepto de variable (Rittle-Johnson et al., 2015).

Estudios como el de Zippert et al. (2019) han demostrado que el patronaje predice el conocimiento matemático de los preescolares más allá del razonamiento fluido, lo que subraya su valor como predictor específico del desarrollo matemático. Asimismo, Pensak et al. (2019) encontraron que la abstracción de secuencias es una habilidad clave para el logro académico, lo que refuerza la importancia de trabajar con patrones desde edades tempranas.

3. Tipos de tareas de patronaje y el proceso de abstracción

Las tareas comunes de patronaje en las matemáticas escolares se centran en tres acciones fundamentales (Rittle-Johnson et al., 2015):

1. Crear patrones: generar una secuencia propia.
2. Duplicar patrones: copiar o recrear un patrón visible.
3. Extender patrones: continuar un patrón visible.

Estas tareas pueden realizarse utilizando los mismos materiales que el patrón original (lo que generalmente se considera más fácil) o utilizando objetos diferentes para representar el patrón original. Este último proceso se denomina abstracción y es el más desafiante, pero también el más importante para el desarrollo del pensamiento algebraico (Fyle et al., 2015).

La abstracción de patrones se ha descrito como un ejemplo temprano de pensamiento algebraico, ya que el acto de usar el mismo nombre para patrones con diferentes elementos físicos es, en esencia, nombrar una variable (Rittle-Johnson et al., 2015). Se sugiere que describir qué permanece igual y qué cambia dentro y entre patrones apoya la abstracción, y que esto se ve facilitado por la introducción de etiquetas verbales comunes (letras en particular, como ABABAB…) que pueden usarse para referirse a elementos a través de diferentes patrones (Fyle et al., 2015).

4. La generalización de patrones como puente hacia el álgebra

4.1. Naturaleza del pensamiento algebraico

El pensamiento algebraico no equivale únicamente al empleo de notación formal o letras; como señala Radford (2008), «usar letras no equivale a hacer álgebra». La competencia algebraica requiere:

• Sentido de indeterminación: Manejo de incógnitas, variables y parámetros.
• Analiticidad: Operar con objetos indeterminados de manera directa.
• Designación simbólica: Expresión formal de las relaciones.

4.2. Niveles del proceso de generalización (Radford)

El proceso mediante el cual se transita de la observación empírica a la expresión algebraica general consta de cinco niveles:

1. Inducción ingenua ────────► Conjeturas y ensayos sin patrón claro.

2. Generalización aritmética ──► Reconocimiento de regularidad local; uso de recursión aditiva.

3. Generalización factual ───► Expresión de la regla mediante términos y números concretos.

4. Generalización contextual ──► Expresión verbal directa («la figura que sigue»).

5. Generalización simbólica ──► Notación sintáctica y formal del término general (e.g., n-ésimo).

4. La generalización de patrones como puente hacia el álgebra

4.1. El pensamiento algebraico y la generalización

Diversos autores señalan que el uso de variables es un marcador de la competencia algebraica (Wagner & Parker, 1999). Sin embargo, el uso de notación, símbolos, letras y variables no parece ser el mejor modo de entender la aparición del pensamiento algebraico, ya que no solo trata sobre el uso de letras, sino sobre un tipo de pensamiento. En palabras de Radford (2008), «usar letras no equivale a hacer álgebra».

El pensamiento algebraico se caracteriza por tres elementos (Radford, 2006):

• El sentido de la indeterminación (incógnitas, variables y parámetros).
• La analiticidad (como forma de trabajar los objetos indeterminados).
• La designación simbólica de sus objetos.

La generalización juega un papel clave en el pensamiento algebraico. En contraposición con la aritmética, a la cual están familiarizados los estudiantes, el concepto de generalización es imprescindible en el álgebra, ya que, a pesar de que en ambos campos hay cierto grado de generalización, en el álgebra la generalización lleva a resultados que no pueden ser obtenidos por medios aritméticos (Radford, 2008).

4.2. La arquitectura de la generalización algebraica

Radford (2008) propone una «arquitectura» del proceso de generalización algebraica de patrones. Este proceso comienza con una serie de particulares (los términos del enunciado del problema), entre los cuales se encuentra una similitud (lo que el autor llama abducción). El siguiente paso consiste en tomar esa similitud y ver que se puede extender al resto de términos de la sucesión. Por último, a partir de esa característica común a toda la sucesión, se produce el término general de la sucesión.

Radford (2006, 2008) señala tres objetos clave en este proceso:

1. El objeto que se generaliza.
2. El objeto generalizado (que Radford llama genus).
3. La regla que da una expresión de un término cualquiera (el esquema).

A partir de estas ideas, se clasifica el proceso de generalización en cinco niveles (Radford, 2006):

• Inducción ingenua: las abducciones y conjeturas no parten de un patrón identificado; son simples suposiciones.
• Generalización aritmética: los estudiantes reconocen una característica común, pero no consiguen proporcionar una regla directa que permita encontrar cualquier término.
• Generalización algebraica factual: se produce todo el proceso de generalización, pero la indeterminación no llega a enunciarse; la relación funcional se expresa utilizando números concretos.
• Generalización algebraica contextual: la relación funcional se expresa de manera verbal, utilizando expresiones como «la figura siguiente».
• Generalización algebraica simbólica: la relación funcional que describe el término general se expresa utilizando el lenguaje simbólico propio del álgebra.

Los tres últimos niveles muestran la gran diferencia que separa el mostrar con el decir (Radford, 2006). En ambos casos se llega a mostrar la relación que guardan los términos de la sucesión, pero solo en el último caso podríamos hablar verdaderamente de generalización algebraica.

4.3. Clasificación de problemas de generalización de patrones

Los problemas de generalización de patrones pueden clasificarse según dos criterios (Rodríguez Novoa, 2020):

Según la posición de los términos en la secuencia:

• Generalización inmediata: se pide hallar el término siguiente a los que aparecen en el enunciado.
• Generalización cercana: se pide un término que, aunque no es inmediato, puede obtenerse utilizando técnicas visuales (como el conteo).
• Generalización lejana: se pregunta por un término cuya representación gráfica resulta tan costosa que no es aconsejable utilizarla; requiere la regla general.

Según la relación entre los datos y la incógnita:

• Relación directa: dada la posición n en la sucesión, hay que obtener el término n-ésimo.
• Relación inversa: dada alguna propiedad del término n-ésimo, o el propio término, se pide encontrar su posición en la sucesión.

Estas clasificaciones son herramientas útiles para diseñar secuencias didácticas que conduzcan gradualmente a los estudiantes desde la exploración visual hasta la simbolización algebraica.

4.4. Estrategias de generalización

Callejo et al. (2016) diferencian cuatro tipos de estrategias para resolver tareas de relación directa:

1. Representación gráfica: realizar una representación gráfica para visualizar el patrón y hacer un recuento directo. Es la estrategia más frecuente y pone de manifiesto la coordinación entre las estructuras espacial y numérica.
2. Recursiva aditiva: utilizar el carácter recursivo de los patrones, sumando la diferencia entre dos términos consecutivos. Una variante es el múltiplo de la diferencia (Goni Cervera & Polo Blanco, 2019).
3. Relación funcional: encontrar una relación funcional no proporcional y aplicarla para conocer los términos de la sucesión a partir de su posición. Aquí aparecen claros indicios de pensamiento algebraico.
4. Proporcionalidad: buscar una relación de proporcionalidad entre un término conocido y el que se quiere hallar. Suele llevar a resultados erróneos a menos que la sucesión sea estrictamente proporcional.

El cambio de una representación gráfica a una estrategia funcional implica un salto cualitativo, ya que en este segundo tipo de estrategias los estudiantes se apoyan en la estructura espacial y numérica de la figura, descomponiéndola y recomponiéndola para poder operar, en vez de trabajar por simple recuento (Callejo et al., 2016).

4.5 La secuencia en forma de «cruz»(4ºEP) : https://visualpatterns.org/

Analizar una misma secuencia de patrones crecientes mediante la descomposición visual facilita el descubrimiento de la regla general.

¿Qué ves aquí?

¿Qué permanece igual y qué está cambiando?
¿Cómo podría verse de manera diferente?

• Interpretación 1 (Aditiva / Recursiva): Se añaden 4 cuadrados a cada nueva figura (+4 en cada paso).

Xoel:”Veo que se suman cuatros al primero, para hacer cada nueva forma”

• Interpretación 2 (Estructural / Superposición): Se perciben formas en crecimiento que se solapan o forman un núcleo constante.

Antón:”Veo formas que se encogen y se superponen”

• Interpretación 3 (Estructural / Asymmetrical / Molino): Se identifica un centro fijo (1 cuadrado) y cuatro brazos o velas de longitud n que aumentan progresivamente (1 + 4n)

Ximena: “Veo molinos de viento. El centro permanece igual y los brazos/velas cambian de longitud”

5. El desarrollo del significado de las letras (Küchemann)

Un problema central en el aprendizaje del álgebra es la dificultad de la significación de las letras, es decir, el uso y significado que los estudiantes les dan en las expresiones algebraicas (García Suárez et al., 2014). Küchemann (1981) clasifica estas significaciones en varios tipos:

Significado de la letra	Descripción y manifestación en el estudiante
1. Evaluada	Se le asigna un valor numérico específico fijo de entrada.
2. Ignorada	Se omite o no se le otorga ningún rol operativo.
3. Como objeto	Se considera como abreviatura de un objeto físico o forma.
4. Como incógnita	Representa un valor desconocido pero específico.
5. Como número general	Representa una colección o conjunto de valores posibles
6. Como variable	Representa una variación sistemática y continua de valores.

Küchemann (1981) distingue cuatro niveles de entendimiento:

1. Se resuelven tareas puramente numéricas o algebraicamente simples; las letras no se utilizan o se emplean como objetos.
2. Mayor familiaridad con la notación algebraica, pero las letras siguen utilizándose como objetos o solo se evalúan.
3. Los estudiantes utilizan las letras como incógnitas con valor específico, pero solo dentro de estructuras algebraicas simples.
4. El alumnado se enfrenta a situaciones que requieren del uso de letras como incógnitas, aunque persiste la tentación de utilizarlas como objetos.

Es importante distinguir entre la idea de que una letra pueda tomar varios valores, pero solo uno a la vez, y que la letra represente un conjunto de valores simultáneamente. Küchemann (1981) afirma que se tiende a recurrir al primer concepto, mientras que la segunda idea se vincula más con el concepto de variable.

6. La flexibilidad en la resolución de problemas matemáticos

Relacionados con la creatividad se encuentran dos aspectos esenciales en la resolución de problemas matemáticos: la flexibilidad de pensamiento y la originalidad. La flexibilidad es la habilidad para modificar la estrategia de resolución de un problema (Callejo & Zapatera, 2014).

Krutetskii (1976) señala que la capacidad de romper con métodos de resolución estereotipados y de mostrar flexibilidad en el pensamiento son componentes cruciales de la habilidad matemática. La aptitud para adaptar las heurísticas a situaciones concretas o cambiar de estrategia si la elegida no es adecuada está vinculada al desarrollo de la competencia en la resolución de problemas (Callejo & Zapatera, 2014).

Se distingue entre intra-flexibilidad (uso de estrategias dentro del mismo problema) e inter-flexibilidad (uso de estrategias en diferentes problemas) (Callejo & Zapatera, 2014). La flexibilidad es importante para el éxito en la resolución de problemas, aunque no lo garantiza, ya que intervienen otros factores como la toma de decisiones sobre qué estrategia emplear y cuándo cambiar.

7. Dificultades asociadas al aprendizaje del álgebra

Flores y Escribano (2017) presentan distintas investigaciones que describen los problemas propios del aprendizaje del álgebra desde diferentes enfoques:

• Enfoque epistemológico: errores debidos a un obstáculo cognitivo, los que tienen su raíz en la aritmética, los debidos a características propias del lenguaje algebraico.
• Perspectiva del lenguaje: problemas como la identificación de las letras como objetos para representar fórmulas, la modelización de problemas mediante el álgebra, la manipulación de números en expresiones algebraicas o comprender la diferencia entre la incógnita y su coeficiente.
• Dificultades ontogénicas: la complejidad que supone el paso de lo concreto a lo abstracto y la generalización propia del álgebra.

Wagner y Parker (1999) y Castro (2012) proponen clasificar las dificultades en tres categorías: aquellas intrínsecas al álgebra, aquellas intrínsecas al sujeto que aprende, y aquellas que son consecuencia de las técnicas pedagógicas utilizadas. Los docentes tienen poco control sobre las primeras, así que suelen centrarse en las referidas al álgebra y su enseñanza.

Uno de los principales problemas radica en las dificultades del alumnado al pasar del pensamiento aritmético (concreto) al algebraico (abstracto). Es relevante tener en cuenta el tipo de herramientas utilizadas y cuándo utilizarlas, ya que el docente determina en cuáles de mayor énfasis, qué tipos de ejercicios utilice, y su propio conocimiento y habilidad con ellas.

8. El currículo de matemáticas y la generalización de patrones

Evolución del trabajo con patrones a lo largo del sistema educativo

El trabajo con patrones y regularidades no debe concebirse como un contenido puntual, sino como un eje vertebrador longitudinal que acompaña el desarrollo cognitivo del alumnado desde los primeros años hasta la ESO, facilitando la transición progresiva desde la intuición concreta hasta el rigor formal.

TRAJECTORIA LONGITUDINAL

– Educación Infantil (3-6 años) → Exploración sensorial, patrones repetitivos simples (AB) y motrices.

– Educación Primaria (6-12 años) → Patrones crecientes, descomposición visual, paso de lo aditivo a lo funcional e inicio del lenguaje simbólico/icónico. –

– Educación Secundaria Obligatoria (12-16 años) → Formalización algebraica, modelización de funciones, relaciones inversas y demostración/justificación sintáctica.

1. Educación Infantil (Real Decreto 95/2022)

• Área prioritaria: Descubrimiento y Exploración del Entorno (Comunicación y Representación de la Realidad).
• Foco pedagógico: El desarrollo de la conciencia de patrón y estructura (Pattern and Structure Awareness).
• Contenidos y dinámicas:
  • Identificación de regularidades continuas en la vida cotidiana (ritmos musicales, secuencias de movimiento, rutinas).
  • Trabajo con patrones repetitivos simples (como AB, ABB, ABC) a través de materiales manipulativos (bloques de colores, cuentas) y el propio cuerpo.
  • Acciones clave: duplicar (copiar) y extender secuencias simples.
  • Inicio de la abstracción temprana: recrear el patrón AB de un collar de cuentas usando palas de madera o aplausos/pisadas.

2. Educación Primaria (Real Decreto 157/2022)

• Área prioritaria: Matemáticas.
• Competencias clave: STEM1 (Estrategias de resolución y reconocimiento de patrones) y STEM4 (Interpretación y comunicación de relaciones con lenguajes sencillos).
• Articulación de los Sentidos Matemáticos:
  • Sentido algebraico: Constituye el núcleo central. Transición de patrones repetitivos a patrones crecientes y estructurales espaciales. Expresión de reglas mediante lenguaje verbal, tablas de valores y primeras notaciones simbólicas.
  • Sentido numérico: Coordinación entre la posición ordinal y la cantidad total; desarrollo de estrategias de recuento y exploración del cambio aditivo o multiplicativo.
  • Sentido espacial: Descomposición visual de configuraciones geométricas planas y espaciales; vinculación entre la estructura espacial y la numérico-algebraica.
  • Sentido socioafectivo: Desarrollo de la flexibilidad cognitiva (buscar distintas formas de «ver» una figura), tolerancia ante el error y perseverancia en el descubrimiento de reglas generales.

3. Educación Secundaria Obligatoria (Real Decreto 217/2022)

• Área prioritaria: Matemáticas (Materia común).
• Competencias clave: STEM1 (Métodos inductivos-deductivos, reformulación de procedimientos) y STEM4 (Demostración, modelización y comunicación precisa con símbolos).
• Consolidación del pensamiento algebraico:
  • Salto definitivo de la generalización contextual o factual a la generalización algebraica simbólica ($n$-ésimo término, lenguaje formal con variables).
  • Tratamiento de problemas de generalización lejana y de relación inversa (dado el total de elementos, deducir la posición n).
  • Estudio de familias de funciones (lineales, cuadráticas) originadas a partir del análisis de patrones geométricos y numéricos.
  • Significación madura de la letra como variable y relación covariacional.

9. Implicaciones didácticas

A partir de la revisión realizada, se desprenden varias implicaciones didácticas fundamentales:

1. Integrar el patrón en el currículo desde edades tempranas: las actividades de patronaje no deben ser un contenido aislado, sino un eje transversal que conecte la aritmética con el álgebra (Kaput, 1998).
2. Utilizar patrones visuales que puedan descomponerse en partes reconocibles: esto apoya a los estudiantes a descubrir reglas generalizadas (Rittle-Johnson et al., 2015). El uso de figuras geométricas facilita la transición hacia la comprensión de patrones y abstracciones algebraicas (Arbona et al., 2017).
3. Animar a los estudiantes a buscar y describir similitudes y diferencias entre pares de elementos en un patrón: esto llama la atención sobre una estructura general (Rittle-Johnson et al., 2015).
4. Introducir etiquetas verbales comunes (ABABAB…): esto apoya la abstracción y el uso de variables (Fyle et al., 2015).
5. Diseñar secuencias de tareas que conduzcan gradualmente desde la generalización inmediata hasta la simbólica: utilizando la clasificación de Radford (2006) y las estrategias de Callejo et al. (2016) como marcos de referencia.
6. Fomentar la flexibilidad cognitiva: permitiendo que los estudiantes cambien de estrategia cuando la elegida no es adecuada, y promoviendo la reflexión sobre los procesos de resolución (Callejo & Zapatera, 2014).
7. Trabajar explícitamente la validez de las soluciones: no basta con que los estudiantes obtengan una expresión que funcione para un caso particular; deben comprender por qué es válida para todos los casos (Rivera & Becker, 2005).

10. Conclusiones

El desarrollo de conceptos de patrón y la generalización algebraica constituyen un campo de investigación y práctica didáctica de gran relevancia para la educación matemática. La evidencia revisada sugiere que:

• El patrón es una idea central en matemáticas y su aprendizaje temprano tiene un impacto positivo en el logro matemático posterior (Rittle-Johnson et al., 2015).
• La generalización de patrones ofrece un camino privilegiado para introducir el álgebra en la escuela primaria y secundaria, suavizando la transición del pensamiento aritmético al algebraico (Radford, 2008; Callejo et al., 2016).
• Los estudiantes pasan por distintos niveles de generalización, desde la inducción ingenua hasta la generalización algebraica simbólica (Radford, 2006).
• El uso de letras y variables requiere un desarrollo gradual que debe ser apoyado con actividades diseñadas intencionalmente (Küchemann, 1981).
• La flexibilidad cognitiva y la capacidad de adaptar estrategias son componentes esenciales de la competencia matemática (Callejo & Zapatera, 2014).

En definitiva, el trabajo con patrones no es un mero entretenimiento o un contenido periférico, sino un eje estructurante que puede y debe articular la enseñanza de las matemáticas desde los primeros años, sentando las bases para un aprendizaje significativo y profundo del álgebra.

Referencias

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