Noción de sentido numérico
El concepto de sentido numérico es relativamente nuevo en la educación matemática. Se han utilizado indistintamente otros términos, como “conciencia numérica”, “razonamiento cuantitativo”,“pensamiento numérico” o “razonamiento numérico”; sin embargo, el que tiene mayor acogida es “sentido numérico” (del inglés number sense). El estudio de la historia del concepto de sentido numérico es importante para entender su naturaleza. El origen de la expresión number sense en Estados Unidos se remonta a finales de los años ochenta.
El Concilio Nacional de Maestros de Matemáticas (NCTM, por sus siglas en inglés) desarrollaba los Estándares de Currículo y Evaluación para la educación matemática escolar e identificó cinco componentes que caracterizan el sentido numérico: significado del número, relaciones numéricas, tamaño de los números, operaciones con los números y referentes para los números y cantidades. El logro de un “buen sentido numérico” implica la adquisición de destrezas relacionadas con el cálculo mental, estimación del tamaño relativo de los números y del resultado de operaciones con los números, reconocimiento de las relaciones parte-todo, conceptos de valor posicional y resolución de problemas.
Simultáneamente, a principios de 1989, la Fundación Nacional de las Ciencias (NSF, por sus siglas en inglés) organizó una conferencia sobre “sentido numérico”. Uno de los propósitos de la reunión era establecer una definición para este concepto, que emergía de las investigaciones sobre la estimación y el cómputo mental. Además, como campo de estudio, se pretendía establecer las preguntas de investigación relacionadas al “sentido numérico” y los fundamentos teóricos para investigarlo (Sowder y Schapelle, 1989). Como era de esperarse, los participantes, reconocidos educadores matemáticos, psicólogos cognitivos y prestigiosos investigadores interesados en el tema, dedicaron gran parte del tiempo a definirlo. En el proceso de concretizar el concepto, los participantes se encontraron limitados por las dificultades impuestas por los supuestos teóricos y las prácticas de la época. La rigurosidad de las especificaciones para la elaboración de las pruebas estandarizadas es un ejemplo de ello. En el informe de la conferencia, los autores reconocieron que les resultó muy difícil definir una competencia matemática de múltiples dimensiones, incluso algunas de ellas de tipo intuitivo, que pudieran ser operacionalizadas de tal forma que fueran evaluadas por ítems de alternativas múltiples. Por otra parte, a pesar de los avances en cuanto a la representación de los conceptos matemáticos que permitía la teoría del procesamiento de información, resultaba casi imposible precisar representaciones para procesos intuitivos que escapaban del ámbito cognitivo.
Resnick (1989), en su resumen de la conferencia, reconoce la pluralidad del concepto al describir algunas de sus características:
… tiende a ser complejo, no es algorítmico, en su implantación pueden ser utilizados múltiples criterios, está sujeto a interpretaciones y juicios sutiles, está sujeto a la imposición de significado, requiere de la autorregulación del proceso de pensar.
Aclara que, a pesar de la dificultad de precisarlo, se puede evaluar, pero no con los medios disponibles, sino con el seguimiento individualizado de los estudiantes (Resnick, 1989).
Entre los asistentes a la conferencia de San Diego, se encontraba James Greeno, quien sería el autor del primer artículo publicado sobre sentido numérico en el Journal for Research in Mathematics Education (Greeno, 1991). A pesar de que su escrito es más una apología a la cognición situada que emergía en la educación matemática, caracteriza el sentido numérico como el conocimiento necesario para vivir en un ambiente conceptual. El estudiante necesita orientarse en este ambiente y esto hace que sea indispensable conocer las características de los objetos que lo componen y la forma como interactúan unos con otros. Desde el punto de vista cognitivo, el alumno construye modelos que contienen las características y propiedades de los objetos y procesos de ese ambiente. Greeno indica, además, que lo que caracteriza el ambiente conceptual conocido como “sentido numérico” son tres aspectos: la capacidad de hacer cómputos con fluidez, la capacidad de hacer estimados y la capacidad de hacer juicios e inferencias. Estos tres aspectos se complementan con el conocimiento de la notación −que se refiere a asuntos semióticos− y la naturaleza social del razonamiento y del aprendizaje para establecer los principios de una teoría constructivista social en donde el contexto y la comunicación desempeñan un papel de relevancia.
Las contribuciones más destacadas de la definición de Greeno son, por una parte, el reconocimiento de la necesidad de la construcción de modelos de los objetos numéricos, de sus características y las propiedades de las operaciones que se pueden realizar con ellos, y, por otra, el establecimiento del sentido numérico como una actividad social determinada por el contexto en el que se desenvuelve el estudiante. Complementando esta visión con la institucionalización de los saberes, se puede reconocer la importancia que cobra el sentido numérico en los distintos ámbitos de formación estudiantil. En esto han sido más protagónicos los investigadores de la educación matemática de escuela elemental, quizás influenciados por la definición de sentido numérico que estableció el Concilio Nacional de Maestros de Matemáticas de Estados Unidos en sus estándares de 1989, en los que se describen cinco componentes: desarrollo del significado de los números, exploración de relaciones numéricas con manipulativos, entendimiento de las relaciones de magnitud de los números, desarrollo intuitivo del efecto de las operaciones en los números y desarrollo de referentes para la medición de objetos y situaciones comunes (National Council of Teachers of Mathematics, 1989). Estas competencias generalmente se desarrollan en los primeros niveles de educación y es así como el sentido numérico es asociado principalmente a la escuela elemental. Esta visión es posteriormente refrendada en la definición de sentido numérico en los estándares del 2000: “habilidad para descomponer números naturalmente, uso de números particulares como 100 o 1/2 como referentes, uso de las relaciones entre las operaciones aritméticas para resolver problemas, entender el sistema numérico de base diez, estimar, tener sentido de los números y reconocer la magnitud relativa de los números” (National Council of Teachers of Mathematics, 2000). Sin embargo, es imperativo resaltar el carácter multidimensional del sentido numérico y su importancia para la formación matemática de los estudiantes de todos los niveles.
La definición del NCTM indica algunas estrategias que pueden ser efectivas para resolver problemas: utilizar números particulares como referentes, usar las relaciones entre las operaciones aritméticas o establecer la magnitud relativa de los números (National Council Of Teachers of Mathematics, 2000). Otros autores le asignan importancia a la capacidad intuitiva de evaluar actividades numéricas, como, por ejemplo, apreciar diversos niveles de exactitud al manejar los números, localizar errores aritméticos, producir estimaciones razonables, saber elegir el procedimiento de cálculo más eficiente o reconocer modelos numéricos más sofisticados que otros.
También en España el “sentido numérico” ha penetrado con fuerza en las propuestas de los nuevos currículums tomamos como ejemplo el de Aragón:
El sentido numérico se caracteriza por la aplicación del conocimiento sobre numeración y cálculo en distintos contextos, y por el desarrollo de destrezas y modos de hacer y de pensar basados en la comprensión, la representación y el uso flexible de los números, de objetos matemáticos formados por números y de las operaciones.
El sentido numérico se refiere, por tanto, a la comprensión general que tiene una persona sobre los números y operaciones junto con la capacidad para usar esta comprensión de manera flexible para emitir juicios matemáticos y desarrollar estrategias útiles para resolver problemas complejos. Implica, por tanto, la posesión de una competencia que se desarrolla gradualmente y depende en gran medida de la calidad de la enseñanza y la experiencia acumulada por los estudiantes.
Proceso de Desarrollo del Sentido Numérico
El proceso mediante el cual un niño adquiere el sentido numérico es complejo y cíclico. Según estudios (Malofeeva et al., 2004), contar y el conocimiento de símbolos numéricos son fundamentales para este desarrollo. Sin embargo, estos conceptos también son parte del propio sentido numérico. No se trata de una habilidad innata, sino de algo que se adquiere a través de la práctica y la exposición a situaciones matemáticas significativas.
Los docentes juegan un papel crucial en este proceso, pues deben fomentar el uso de materiales concretos, explorar patrones numéricos, y permitir la discusión y la resolución de problemas por parte de los estudiantes. La comprensión del sentido numérico no ocurre por casualidad; requiere una enseñanza consciente y planificada.
Consecuencias de un Desarrollo Deficiente del Sentido Numérico
Un sentido numérico mal desarrollado puede tener repercusiones graves en el rendimiento matemático futuro. Diversos estudios internacionales han mostrado que las habilidades básicas de conteo y enumeración son predictores del éxito en matemáticas. Países como Finlandia, Inglaterra, Estados Unidos y Canadá han vinculado un sentido numérico deficiente con el fracaso matemático en etapas posteriores.
En muchos casos, la enseñanza de las matemáticas se enfoca más en el cálculo mecánico y las operaciones algorítmicas, lo que lleva a los estudiantes a perder el sentido de los números y su significado. Esta desconexión entre símbolos numéricos y su interpretación puede ser una barrera importante en el aprendizaje.
Componentes del Sentido Numérico
La investigación sobre el desarrollo del sentido numérico revela siete componentes clave:
- Relación entre número y cantidad.
- Comprensión de símbolos numéricos, vocabulario y significado.
- Capacidad de realizar un conteo sistemático (cardinalidad y ordinalidad).
- Conciencia de la magnitud y comparaciones entre cantidades.
- Comprensión de diferentes representaciones numéricas.
- Competencia en operaciones matemáticas simples.
- Reconocimiento de patrones numéricos, incluyendo la detección de números faltantes.
Estos componentes forman una base sólida para el desarrollo matemático y son comunes en estudios realizados en diferentes culturas y contextos educativos.
El Papel de la Resolución de Problemas
La resolución de problemas es el núcleo del aprendizaje matemático. A través de ella, los estudiantes no solo aprenden conceptos, sino que también desarrollan habilidades críticas como el pensamiento lógico, la creatividad y la toma de decisiones. En este contexto, la enseñanza no debe limitarse a la transmisión de técnicas, sino que debe involucrar a los estudiantes en procesos activos de resolución, donde puedan explorar diferentes estrategias y cometer errores como parte del proceso de aprendizaje.
El proceso de enseñanza a través de la resolución de problemas sigue una secuencia similar a la siguiente (Beltrán-Pellicer, Pablo y Martínez-Juste, Sergio,2021):
- Los escolares se enfrentan a situaciones problemáticas sin haber recibido instrucción previa sobre los contenidos que quieren enseñarse.
- Los problemas deben promover la reflexión y la indagación hacia la búsqueda de estrategias que permitan resolverlos.
- El profesor utiliza las respuestas de los alumnos para organizar una puesta en común que permita introducir los nuevos conceptos.
- Por último, los alumnos resuelven problemas para afianzar los nuevos contenidos.
Por tanto, este enfoque no excluye la enseñanza de heurísticos y la aplicación de contenidos, sino que los contiene.
Importancia del Cálculo Mental y la Estimación
Un aspecto fundamental del sentido numérico es la capacidad de descomponer números y emplear técnicas de cálculo mental de manera flexible. Esto incluye la estimación, que es una habilidad crucial para comprender las magnitudes y el significado de las operaciones matemáticas en contextos prácticos.
El desarrollo de la estimación debe ir más allá de simplemente «adivinar» un resultado. Requiere que los estudiantes utilicen razonamientos y técnicas que les permitan hacer predicciones razonables sobre cantidades o resultados numéricos.
Uso de Materiales Concretos y Manipulativos
El uso de manipulativos y materiales concretos es esencial para el desarrollo del sentido numérico, especialmente en los primeros años. Los materiales permiten que los estudiantes visualicen las relaciones entre números y operaciones. Además, facilitan la transición del cálculo oral al cálculo escrito, proporcionando una base sólida para la comprensión del sistema de numeración decimal.
Estrategias Didácticas para el Desarrollo del Sentido Numérico
Para desarrollar el sentido numérico, es crucial implementar secuencias didácticas que partan de los conocimientos previos del alumnado y permitan el uso de estrategias propias para manejar los números. Esto fomenta un aprendizaje significativo, en el que los estudiantes construyen su propio conocimiento y establecen conexiones entre las propiedades de los números y las operaciones.
Algo sencillo de realizar en un aula de primaria para favorecer el sentido numérico en Educación Primaria es no enseñar ningún algoritmo para las operaciones en 1.º ciclo. En la página 36 del mencionado currículo de Aragón, orientaciones sobre sentido numérico:
“Las estrategias de cálculo tienen que ser razonadas, y conviene familiarizarse con ellas por medio de una práctica razonada y rica, y siempre teniendo en cuenta la flexibilidad, pudiendo hacer una elección entre las estrategias trabajadas y verbalizadas. Entre las estrategias útiles para el cálculo rápido se pueden utilizar, entre otras que puedan surgir de la conversación: al cambiar el orden de los sumandos en una suma, el resultado no varía, será más eficaz sumar 7+2 que 2+7, siempre que se haya interiorizado “contar desde”, no empezar siempre por el 1; “el paso por el 10”, para sumar 7+5, se descompone el 5 en 3+2, y se convierte en 7+3+2=12, ya que a 7 le faltan 3 para llegar, “pasar” por el 10, estrategia de gran utilidad para el cálculo mental con números mayores y para la que se requiere haber hecho un trabajo previo y sistemático de descomposición de los números hasta el 10; automatizar la suma de dobles de una cifra; y de “casi dobles”, 4+4=8, 4+3, uno menos, 4+5, unos más; que sumar 9 es como sumar 10 y quitar 1; partir de resultados conocidos para obtener otros, si 7+2=9, 17+2 = 19; 17+12 =29; 70+20=90 Es más importante dominar las estrategias anteriores, que llevan a un cálculo más comprensivo, que trabajar un algoritmo. Las sumas y restas, que además deben presentarse de forma intercalada, pues ambas forman parte de las situaciones aditivas, deben acompañarse de la manipulación del material, para garantizar la representación con la comprensión y se tenga un buen dominio de la agrupación de unidades en decenas. Los algoritmos de las operaciones no tienen sentido en este ciclo y no favorecen el desarrollo del sentido numérico a estas edades. Sí tienen valor como objeto de estudio dentro del pensamiento computacional en ciclos posteriores. Pero ahora se trata de enfatizar cálculo oral y mental, así como flexibilidad sobre las operaciones y comprensión de las situaciones problema que responden a ellas. Se trata de trabajar con situaciones aditivas («de suma o de resta») con la intención de que las reconozcan, las resuelvan utilizando su conocimiento de los números y traduzcan a lenguaje matemático. Que se enfrenten a situaciones que se pueden modelizar y resolver de diversas maneras e igualmente correctas, por ejemplo, 7+2=9 es lo mismo que 2+7=9, o que si tenemos que saber el dinero que nos falta para comprar algo que cuesta 11 euros y ya tenemos 5, podemos resolverlos preguntando ¿cuánto me falta de 5 a 11 euros? Y después escribirlo 11-5=? o 5 +?= 11. La iniciación en la resta, tendrá que hacerse de la misma manera, manipulando materiales, y empleando estrategias diversas para calcular el resultado, entendiendo que con frecuencia es necesario descomponer decenas y centenas. Cuando se llegue a un resultado, tanto si es correcto como si no lo es, hay que iniciar la reflexión de cómo han llegado, cómo lo han hecho, comunicarlo y contrastarlo con sus compañeros o compañeras. Esta conversación ayudará a ampliar las estrategias y encontrar la más eficiente. Después de este proceso de reconocimiento, obtención del resultado, explicación de cómo se ha llegado, se puede escribir con lenguaje matemático, (+, -, = ); en grupo, pautado por el profesorado y hacia una mayor autonomía.
Conexiones con Otros Sentidos Matemáticos
El sentido numérico no es una habilidad aislada; está íntimamente conectado con otros aspectos de las matemáticas, como el sentido de la medida, el razonamiento proporcional y el sentido estocástico. Estos vínculos permiten a los estudiantes aplicar sus conocimientos numéricos a situaciones del mundo real y a otros dominios matemáticos, facilitando un aprendizaje más integral y completo.
Desafíos y Oportunidades en la Enseñanza del Sentido Numérico
Uno de los mayores desafíos en la enseñanza del sentido numérico es la tendencia a centrarse en el aprendizaje mecánico de algoritmos, sin darle suficiente importancia a la comprensión de los conceptos subyacentes. Para evitar esto, es esencial que los docentes fomenten el uso de métodos flexibles y creativos de resolución de problemas, donde los estudiantes puedan explorar diferentes formas de aproximarse a los números y las operaciones.
Conclusión
El sentido numérico es una habilidad esencial que todos los estudiantes deben desarrollar para tener éxito en matemáticas. No se trata solo de contar o realizar cálculos, sino que se caracteriza por el desarrollo de habilidades y modos de pensar basados en la comprensión, la representación y el uso flexible de números y operaciones para, por ejemplo, orientar la toma de decisiones. El rol de los docentes es fundamental en este proceso, proporcionando oportunidades para que los estudiantes exploren, descubran y hagan conexiones significativas en su aprendizaje matemático.
Bibliografía
Berch, D. B. (2005). Making sense of number sense: Implications for children with mathematical disabilities. Journal of Learning Disabilities, 38(4), 333-339.
Greeno, J. G. (1991). Number sense as situated knowing in a conceptual domain. Journal for Research in Mathematics Education, 22(3), 170-218.
Departamento de Educación, Cultura y Deporte de Aragón. (2022). Matemáticas. Gobierno de Aragón. https://educa.aragon.es/documents/20126/2773107/%5B02.12%5D+Matem%C3%A1ticas.pdf/bc8d7dbc-80b4-9618-0ec2-924dda2d6e32?t=1661254455826
Godino, J., Font, V., Konic, P., & Wilhelmi, M. (s.f.). El sentido numérico como articulación flexible de los significados parciales de los números.
Kaminski, E. (2002). Promoting mathematical understanding: Number sense in action.
National Council of Teachers of Mathematics. (1989). Curriculum and evaluation standards for school mathematics. NCTM.
Hernández Rodríguez, O. (2016). Sentido numérico: más allá de los números.
Resnick, L. (1987). Education and learning to think. National Academy Press.
Resnick, L. (1989). Defining, assessing and teaching number sense. En J. Sowder & B. Schappelle (Eds.), Establishing foundations for research on number sense and related topics: Report of a conference (pp. 35-39). San Diego State University.
Sowder, J. (1989). Introduction. En J. Sowder & B. Schappelle (Eds.), Establishing foundations for research on number sense and related topics: Report of a conference (pp. 1-5). San Diego State University.
Sowder, J. (1991). Teaching computation in ways that promote number sense. En C. J. Irons (Ed.), Challenging children to think when they compute: Developing number sense, mental computation and computational estimation. Proceedings of the 1st Annual Conference on Mathematics Teaching and Learning presented by The Centre for Mathematics and Science Education, Queensland University of Technology, Brisbane.
Sowder, J., & Markovits, Z. (1989). Effects of instruction on number magnitude. En C. Maher, G. Goldin, & R. Davis (Eds.), Proceedings of the eleventh annual meeting: North American Chapter of the International Group for the Psychology of Mathematics Education. Centre for Mathematics, Science and Computer Education, Rutgers – The State University of New Jersey.
Sowder, J., & Schappelle, B. (1994). Number sense making. Arithmetic Teacher, 41(6), 342-345.