«La representación visual es más que un simple adorno; forma parte de la manera en que los niños comprenden». Carles Granell.
Localización: Uno: Revista de didáctica de las matematicas,
1. El Marco Epistemológico:
«…el conocimiento no se puede definir o explicitar a priori, tiene que surgir en la acción, en la interacción del niño con un medio problemático. Sólo posteriormente será lícito que el profesor institucionalice el conocimiento…«
— Guy Brousseau (Teoría de Situaciones Didácticas)
Esta premisa constituye el cimiento indispensable para transformar la enseñanza de las matemáticas. Durante generaciones, la educación tradicional ha operado bajo el modelo inverso: la instrucción explícita a priori. En este enfoque dogmático, el docente presenta la regla o el algoritmo formal (por ejemplo, la caja de la división en columnas), muestra la ejecución mecánica paso a paso, impone ejercitación repetitiva y solo al final propone ‘problemas de aplicación’. Como demuestran las investigaciones de Brousseau, Kamii, Skemp, Fosnot y Van de Walle, esta práctica priva al estudiante de la oportunidad de matematizar y despoja a los conceptos de su significado semántico subyacente.
«El sentido numérico se caracteriza por el desarrollo de habilidades y modos de pensar basados en la comprensión, la representación y el uso flexible de números y operaciones para, por ejemplo, orientar la toma de decisiones.«
— Curriculum Aragón/ El Sentido Numérico
El sentido numérico no es la memorización ciega de tablas ni la ejecución autómata de algoritmos. Es una red de relaciones conceptuales que permite al niño descomponer y recomponer cantidades, elegir estrategias adaptativas, estimar la razonabilidad de un resultado y darle sentido contextual a las operaciones y sus residuos.
2. Modelización Semántica de la División: Modelos Partitivo y Cuotativo
La división es habitualmente la operación más malcomprendida en la educación primaria cuando se enseña únicamente como un procedimiento de lápiz y papel. Para construir sentido numérico, los alumnos deben experimentar y distinguir activamente las dos estructuras semánticas fundamentales de la división:
- División Partitiva (Reparto Equitativo): Se conoce el número total de objetos (dividendo) y el número de grupos que se desean formar (divisor). El objetivo es determinar cuántos elementos corresponden a cada grupo (cociente). En la acción concreta, este modelo corresponde al ‘reparto uno a uno’ (dar uno a cada conjunto de forma repetida).
- División Cuotativa (Agrupamiento o Medida): Se conoce el número total de objetos (dividendo) y la medida o tamaño de cada grupo (divisor). El objetivo es averiguar cuántos grupos completos del tamaño especificado se pueden extraer o empaquetar. En la acción concreta, este modelo exige ‘tomar un bloque o lote del tamaño del divisor de una sola vez’ y empaquetarlo. Modelar la división cuotativa hace visible la estructura multiplicativa como una resta repetida de agrupamientos de tamaño fijo.
El Rol del Medio Problemático y los Materiales Manipulativos (Billetes Base 10 y Bloques)
Cuando enfrentamos a los alumnos a una situación como 25 ÷ 7 utilizando billetes de base 10 o bloques , los billetes no son simples adornos: actúan como herramientas de modelización semántica. El estudiante descubre físicamente que no puede entregar directamente 2 billetes de 10 enteros entre 7 personas o grupos. La propia restricción física del medio le obliga a realizar el ‘canje’ (descomponer los 20 en 20 billetes de 1, reuniendo 25 unidades). Este acto de canje es la raíz semántica del valor posicional en la división, algo que el algoritmo formal oculta tras el gesto mecánico de ‘bajar la cifra siguiente’.
Representación en Cuadrícula: Del Quilting/Matriz a la Comprobación Multiplicativa
La transición de la acción física manipulativa a la representación esquemática es un paso crucial en la línea de desarrollo. Utilizando papel cuadriculado (la ‘Libreta de las Grandes Ideas Matemáticas’), los alumnos construyen matrices, quiltings o rectángulos delimitando el dividendo:
- Delimitación del Dividendo: El alumno dibuja la región delimitada del dividendo (por ejemplo, un rectángulo o espacio con exactamente 25 casillas cuadradas).
- Agrupamiento del Divisor: En lugar de marcar casillas de una en una (modelo partitivo), el alumno colorea o encierra ‘bloques o lotes de 7 casillas juntas’. Esta acción visualiza y consolida el modelo cuotativo (agrupamiento de tamaño divisor).
- Identificación Espacial del Resto: Las casillas que quedan sin colorear dentro del espacio delimitado representan el resto o residuo. Se reconoce inmediatamente que las casillas blancas forman parte del espacio original del dividendo (25), pero no alcanzaron a formar un grupo completo de 7, por lo que no pertenecen ni al divisor (7) ni al cociente (3 grupos).
- Conexión con la Multiplicación: La matriz en la cuadrícula conecta directamente la división con el arreglo rectangular multiplicativo: Dividendo = (Cociente × Divisor) + Resto. En el caso de 25 ÷ 7, el alumno comprueba visual e inequívocamente que (3 × 7) + 4 = 25.
3. Exploración de Tareas Didácticas de Aula y su Secuencia de Institucionalización
A continuación se presenta el análisis detallado de una secuencia de tareas diseñadas para 4.º de Primaria (extendible a 3.º y 5.º), donde se articulan los materiales manipulativos, la representación en cuadrícula, las preguntas de andamiaje y la institucionalización brousseana.
Tarea 1: El Empaquetado en Grupos de 7 (25 ÷ 7 y la Cuadrícula ‘Quilt’)
Consigna para el Alumnado: Consigna: ‘Toma 25 bloques base diez o billetes . ¿Qué pasa si queremos empaquetarlos en grupos de 7? Dibuja tu idea en la libreta de cuadrícula delimitando 25 casillas. Colorea grupos del tamaño del divisor (7). ¿Cuántos grupos hay? ¿Cuántas casillas sobran blanco?’
Análisis Didáctico y Preguntas Clave:
- ¿Por qué dibujamos exactamente 25 casillas? Porque representan la totalidad de la cantidad inicial (el dividendo).
- ¿Por qué coloreamos grupos de 7 de una vez en lugar de dar 1 a cada conjunto repetidamente? Porque estamos buscando cuántos grupos de tamaño 7 caben en 25. Esta acción hace visible el modelo cuotativo de la división.
- ¿Cómo se ve el cociente en tu quilt? Se ve como el número total de conjuntos coloreados de 7 casillas (3 grupos).
- ¿Qué representan las casillas blancas que sobraron? Representan el resto (4 casillas). Son casillas del dividendo original que no completan un grupo de 7.
- Comprobación multiplicativa: El alumno verifica que 3 × 7 + 4 = 25.
Institucionalización : El docente formaliza: ‘En la división 25 ÷ 7 = 3 y sobran 4, el 25 es el Dividendo (total), el 7 es el Divisor (tamaño de grupo), el 3 es el Cociente (cantidad de grupos completos) y el 4 es el Resto o Residuo. El resto siempre debe ser estrictamente menor que el divisor (4 < 7); si fuera igual o mayor, podríamos formar otro grupo completo’.
Tarea 2: Las Matrices Rectangulares de 58 ÷ 4 y 36 ÷ 6 (División Exacta vs. Inexacta)
Consigna para el Alumnado: Consigna: ‘Haz una matriz delimitando 58 casillas en tu papel cuadriculado y colorea grupos de 4. ¿Cómo se ve la matriz? ¿Hay resto? Luego haz lo mismo con 36 casillas organizadas en grupos de 6’.
Análisis Didáctico: En 58 ÷ 4, el alumno descubre que puede formar 14 grupos completos de 4 (14 × 4 = 56) y le quedan 2 casillas blancas (resto 2). En cambio, con 36 ÷ 6, el alumno logra construir un arreglo rectangular perfecto de 6 × 6 casillas sin que sobre ninguna casilla blanca. La experiencia visual contrapone de forma potente la división inexacta (con resto diferente de cero) y la división exacta (resto 0), conectando esta última con la noción de factores y múltiplos.
Tarea 3: La Interpretación Semántica del Resto en Contexto (47 ÷ 5 y los Caramelos vs. los Coches)
Consigna para el Alumnado: Consigna: ‘Resuelve 47 ÷ 5 en tu cuadrícula y analiza: a) Si 47 son caramelos y hacemos bolsas de 5 caramelos, ¿qué significan las 2 que sobran? b) Si 47 son personas que tienen que ir de excursión en coches donde caben 7 personas por coche (25 ÷ 7 o 47 ÷ 5), ¿qué hacemos con las personas que sobran? ¿Alcanza con los coches del cociente o hay que pedir otro coche?’
Análisis Didáctico: Esta tarea aborda la dependencia contextual del resto. En la situación A (caramelos en bolsas), el resto 2 representa caramelos sueltos que no se empaquetan; el cociente permanece en 9 bolsas. En la situación B (transporte de personas en coches de 7 capacidad, 25 ÷ 7 = 3 R 4), las 4 personas que sobran no se pueden ‘descartar’. Aunque el cociente matemático es 3, la respuesta al problema de la vida real exige pedir 4 coches (sumar 1 al cociente) para no dejar a nadie. El resto modifica el valor del cociente según lo que la situación requiere.
Tarea 4: Comparación Estratégica (23 ÷ 3: ¿Contar por Filas o por Bloques?)
Consigna para el Alumnado: Consigna: ‘Delimita 23 casillas en el cuadriculado. Prueba resolver 23 ÷ 3 de dos formas: organizando en filas de 3 o agrupando bloques de 3. ¿Qué estrategia es más rápida y te ayuda a no equivocarte al contar?’
Análisis Didáctico: Al comparar la organización en filas ordenadas de 3 frente a bloques irregulares dispersos, el alumno descubre la eficiencia de la estructura rectangular. Contar por filas de 3 activa las series numéricas (3, 6, 9, 12, 15, 18, 21… ¡quedan 2!) y consolida el salto de la suma repetida a la multiplicación.
Tarea 5: El Desafío de Gregorio Morales en X (Conmutatividad e Invariancia del Resto)
Reto Didáctico: Situación Planteada en Redes por mi amigo Gregorio Morales: ‘Si reparto 52 caramelos entre 3 personas tocan a 17 caramelos cada una y sobra 1 caramelo. Si los hubiera repartido entre 17 personas, ¿cuántos sobrarían?’
Análisis Didáctico: Esta propuesta es una joya de la didáctica del sentido numérico. Un estudiante educado en el algoritmo ciego intentará hacer de nuevo la división vertical de 52 ÷ 17 en papel. En cambio, un estudiante con sentido numérico acude a la igualdad euclídea fundamental: Dividendo = (Divisor × Cociente) + Resto → 52 = (3 × 17) + 1. Al aplicar la propiedad conmutativa de la multiplicación (3 × 17 = 17 × 3), la relación se transforma en 52 = (17 × 3) + 1. Como el resto original (1) es menor que el nuevo divisor (17), el resto sigue siendo EXACTAMENTE 1. Esta tarea demuestra el tránsito fluido entre la división partitiva (repartir entre 3) y la división cuotativa (repartir entre 17) sin necesidad de realizar ningún cálculo mecánico nuevo.
4. Síntesis Comparativa de la Representación de la División
| Aspecto Didáctico | División Partitiva (Reparto) | División Cuotativa (Agrupamiento) | Modelo en Cuadrícula (‘Quilt’) |
| Pregunta Central | ¿Cuántos tocan a cada uno de los N grupos? | ¿Cuántos grupos de medida M se pueden formar? | ¿Cuántos bloques de tamaño divisor caben en la superficie? |
| Acción del Alumno | Repartir uno a uno de forma iterativa. | Tomar lotes completos de tamaño M de una vez. | Delimitar N casillas y colorear bloques del tamaño del divisor. |
| Visibilidad del Resto | Objetos sueltos que no se pueden repartir por igual. | Elementos sobrantes que no alcanzan para un lote completo. | Casillas blancas dentro del espacio delimitado del dividendo. |
| Conexión Multiplicativa | Cociente × Grupos = Total | Número de grupos × Tamaño de grupo = Total | Matriz / Arreglo: (Cociente × Divisor) + Resto = Dividendo |
«el residuo es parte del dividendo por eso lo numeran»
5. Decálogo para la Práctica Docente
- Presentar siempre la situación problemática antes de cualquier explicación procedimental.
- Proporcionar materiales manipulativos (billetes base 10, bloques) como herramientas semánticas de canje y no como simples adornos.
- Promover el uso de la libreta de cuadrícula para construir matrices y quilts que visibilicen la división cuotativa.
- Exigir que los alumnos justifiquen el significado espacial de las casillas sobrantes (el resto pertenece al dividendo).
- Discutir el impacto del resto en contextos reales (cuándo se descarta, cuándo obliga a redondear hacia arriba y cuándo se fracciona).
- Conectar sistemáticamente la división con la multiplicación: Dividendo = (Cociente × Divisor) + Resto.
- Aprovechar la conmutatividad para resolver dilemas de división sin necesidad de recálculos (Desafío de Gregorio Morales).
- Resistir la tentación de dar la respuesta; sostener la lucha productiva mediante preguntas de andamiaje.
- Orquestar el Congreso de Matemáticas para confrontar las representaciones informales de los estudiantes.
- Reservar la institucionalización para el final, otorgando estatus formal al conocimiento descubierto por la clase.