Richard Skemp (1919-1995) escribió uno de los artículos más importantes, en mi opinión, sobre las matemáticas y su enseñanza y aprendizaje, titulado «Comprensión Relacional vs. Instrumental en Matemáticas» . Si aún no lo has leído, creo que deberías añadirlo a tus lecturas.
Richard Skmep
Richard Skemp (1919-1995) fue un educador matemático y psicólogo educativo británico, muy destacado en el campo de la educación matemática en la década de 1970. Sus escritos [– The Psychology of Learning Mathematics (1971) and Intelligence, Learning, and Action (1979) ] articularon una teoría del aprendizaje, en la que la comprensión relacional e instrumental desempeñan un papel destacado. Skemp popularizó los términos comprensión relacional e instrumental en un artículo publicado en 1976 en Mathematics Teaching. Este artículo se publicó posteriormente en Estados Unidos en 1977 en Arithmetic Teacher (revista profesional publicada por el Consejo Nacional de Profesores de Matemáticas, organización estadounidense) y también se incluyó como capítulo en una edición estadounidense ampliada de Psicología del Aprendizaje de las Matemáticas, publicada en 1987.
Comprensión relacional e instrumental
Al introducir los términos comprensión relacional e instrumental, Skemp señala que, si bien la comprensión puede ser un objetivo común tanto para profesores como para estudiantes de educación matemática, este término puede tener múltiples significados. Skemp escribe que muchos educadores matemáticos probablemente conceptualizan la comprensión como él, cómo saber qué hacer y por qué, a lo que se refiere como comprensión relacional. En contraste, señala que algunos estudiantes y profesores pueden tener una forma diferente de pensar sobre la comprensión, más parecida a reglas sin razones o a lo que él llama comprensión instrumental. Skemp señala que la comprensión instrumental no era algo que él hubiera considerado previamente como comprensión.
Según Skemp, el origen de los términos comprensión relacional e instrumental debería atribuirse a Stieg Mellin-Olsen (1939-1995). Mellin-Olsen fue un educador y teórico matemático noruego que, al igual que Skemp, tuvo un papel destacado en la educación matemática internacional durante muchos años. La distinción entre instrumental y relacional parece haber sido propuesta originalmente por Mellin-Olsen y posteriormente explorada con mayor profundidad en un estudio comparativo de los currículos de matemáticas inglés y noruego, en el que Skemp y Mellin-Olsen colaboraron (Skemp y Mellin-Olsen, 1973, citado en Mellin-Olsen, 1981).
Aparte de proporcionar frases memorables como saber qué hacer y por qué (relacional) y reglas sin razones (instrumental), Skemp no ofrece una definición explícita ni elaborada de la comprensión relacional e instrumental. Sin embargo, es posible extrapolar lo que parece querer decir con estos términos mediante una lectura atenta de esta obra fundamental. La comprensión instrumental implica “memorizar para qué problemas funciona un método y para cuáles no, así como aprender un método diferente para cada nueva clase de problemas” (Skemp 1987, p. 159); es el deseo de conocer “algún tipo de regla para obtener la respuesta” (p. 155) para que el estudiante pueda “aferrarse a ella e ignorar el resto” (p. 155); implica conocer “una multiplicidad de reglas en lugar de unos pocos principios de aplicación más general” (p. 155); trata de desarrollar “la competencia en diversas técnicas matemáticas” (p. 156); puede ser potencialmente útil a corto plazo, pero a largo plazo es bastante perjudicial; y generalmente implica concebir las matemáticas como un conjunto de técnicas aisladas e inconexas (“planes fijos” (p. 162)) que deben memorizarse.
La comprensión relacional se describe con aún menos detalle, pero con la clara suposición de que lo relacional se define por todo lo que no es: como lo opuesto a lo instrumental.
Una persona con comprensión relacional ha desarrollado un «mapa mental» (p. 162) o una «estructura conceptual» (p. 163) de las matemáticas que está aprendiendo.
Cabe destacar que, en sus escritos, Skemp utiliza los adjetivos relacional e instrumental para modificar diversos sustantivos. De forma destacada, Skemp escribe sobre la comprensión relacional e instrumental para describir los tipos de conocimiento que los estudiantes pueden desarrollar. De igual manera, Skemp también escribe sobre el conocimiento relacional e instrumental, así como sobre los esquemas relacionales. Además, Skemp escribe sobre las matemáticas instrumentales y relacionales para sugerir que, por ejemplo, las matemáticas que se enseñan cuando un profesor tiene objetivos instrumentales para el aprendizaje de los alumnos son bastante diferentes de las que se enseñan cuando el profesor tiene objetivos relacionales para el aprendizaje de los alumnos. Skemp también utiliza las frases pensamiento relacional e instrumental, que parecen usarse como sinónimos de comprensión. En un caso, Skemp se refiere a matemáticos relacionales, lo que parece referirse a matemáticos que utilizan el pensamiento relacional. Finalmente, implícitamente, Skemp también escribe sobre la enseñanza relacional e instrumental, donde la enseñanza relacional busca el desarrollo de la comprensión relacional y la enseñanza instrumental busca la comprensión instrumental.
Aunque Skemp era claramente un defensor de la comprensión relacional, dada la prevalencia de la enseñanza orientada a la comprensión instrumental, intenta articular algunos de los posibles beneficios del pensamiento instrumental. En primer lugar, señala que suele ser más fácil desarrollar la comprensión instrumental; «si lo que se busca es una página de respuestas correctas, las matemáticas instrumentales pueden proporcionarla con mayor rapidez y facilidad» (Skemp, 1987, pág. 158). En segundo lugar, la comprensión instrumental puede proporcionar un conjunto de recompensas más inmediato y evidente, siempre que se apliquen las reglas correctamente para generar respuestas correctas. En tercer lugar, el pensamiento instrumental a menudo conduce a la respuesta correcta con mayor rapidez y fiabilidad que el pensamiento relacional. Como resultado, Skemp señala que «incluso los matemáticos relacionales suelen utilizar el pensamiento instrumental» (pág. 158). (Señala que «este es un punto de gran interés teórico, que espero abordar con más detalle en una próxima ocasión» (pág. 158), aunque no hay evidencia de que retomara este tema en particular en sus escritos posteriores.
Ventajas de la comprensión relacional
En cuanto a las ventajas de la comprensión relacional, Skemp señala cuatro. En primer lugar, afirma que la comprensión relacional es más adaptable, lo que significa que el conocimiento relacional permite a los estudiantes modificar una estrategia conocida de resolución de problemas para que sea útil para resolver problemas desconocidos. En segundo lugar, Skemp señala que, si bien las matemáticas relacionales son más difíciles de aprender, son más fáciles de recordar. Mientras que el pensamiento instrumental requiere recordar un gran número de reglas, el pensamiento relacional también implica saber cómo se interrelacionan todas las reglas, y Skemp afirma que conocer estas interrelaciones entre reglas (“como partes de un todo conectado” (Skemp 1987, p. 159)) resulta en un aprendizaje más duradero. En tercer lugar, Skemp afirma (basándose en evidencia de «experimentos controlados con material no matemático» (p. 159) no citados) que el aprendizaje relacional requiere menos recompensas y castigos extrínsecos para aprender. Y en cuarto lugar, Skemp afirma que el desarrollo del conocimiento relacional lleva a los estudiantes a buscar nuevos conocimientos y a continuar aprendiendo relacionalmente.
Aunque articula las ventajas tanto de la comprensión instrumental como de la relacional y también señala la presencia de muchos factores contextuales y situacionales en las escuelas que pueden impulsar al profesorado a defender la comprensión instrumental, Skemp defiende claramente la comprensión relacional. Describe una anécdota personal en la que los beneficios de la comprensión relacional y su diferencia con el aprendizaje instrumental se le hicieron muy evidentes. Mientras se encontraba en una ciudad desconocida para reunirse con un colega, Skemp comenta que aprendió algunas rutas para desplazarse, como entre su hotel y la oficina de su amigo, y entre su hotel y el comedor de la universidad. Conocer este conjunto de rutas o planes fijos fue sin duda muy útil. Pero cuando tenía tiempo libre, comenzó a explorar, no explícitamente para aprender nuevas rutas entre puntos de interés, sino más bien para «aprender a moverme» (Skemp 1987, p. 162) y ver qué podría ser de interés. Su objetivo al explorar la ciudad era “construir mentalmente un mapa cognitivo de la ciudad” (p. 162).
Aunque un observador que vea a Skemp paseando por la ciudad podría no ser capaz de distinguir las diferencias entre estos dos tipos de actividades, para Skemp estas tenían objetivos muy distintos. En el primer caso, el objetivo era simplemente llegar del punto A (p. ej., su hotel) al punto B (la oficina de su amigo). Pero en el segundo caso, su objetivo era profundizar en su conocimiento de la ciudad.
Skemp conecta el primer tipo de actividad con la comprensión instrumental, donde se desarrolla un conjunto de planes fijos que permiten alcanzar un conjunto determinado de objetivos. Estos planes proporcionan una prescripción sobre qué hacer a continuación; por ejemplo, girar a la derecha en la segunda calle y cruzar la calle junto a la cafetería.
Cada paso del plan se guía únicamente por la situación local: la instrucción «girar a la derecha en la segunda calle» solo es útil y comprensible cuando se han completado correctamente todos los pasos inmediatamente anteriores. Como resultado, se ve muy limitado lo que se puede lograr en términos de navegar por la ciudad, dado un conjunto tan pequeño y fijo de planes. En contraste, el segundo tipo de actividad es similar a la comprensión relacional, en el sentido de que el desarrollo de un mapa mental de la ciudad podría permitir a Skemp viajar desde cualquier punto de partida hasta cualquier punto de llegada en la ciudad.
Además de abogar por un enfoque en la comprensión relacional, Skemp también señala que considera potencialmente problemático que estudiantes y docentes tengan visiones dispares sobre el significado de la comprensión, como cuando los docentes desean que los estudiantes desarrollen la comprensión relacional, mientras que los estudiantes solo buscan la comprensión instrumental (y viceversa). De igual manera, los docentes podrían tener una visión de la comprensión diferente a la del texto que utilizan. Skemp propone que estas discrepancias son endémicas y, a menudo, no son reconocidas por los educadores matemáticos.
Cabe destacar que, desde mediados de la década de 1980, los educadores matemáticos han recurrido a un marco terminológico diferente para describir la comprensión matemática. En lugar de la comprensión relacional e instrumental de Skemp, el conocimiento conceptual y procedimental de Hiebert (Hiebert y Lefevre, 1986) se ha vuelto dominante tanto en el ámbito de la investigación como en el de las políticas públicas. Estas dos distinciones terminológicas no son isomórficas (Haapasalo y Kadijevich, 2000; Star, 2000). Además, algunos académicos han expresado su preocupación por la distinción terminológica entre conocimiento conceptual y procedimental, incluyendo la posibilidad de que este marco haya generado malentendidos y prioridades equivocadas (Star, 2005, 2007), así como dificultades de comunicación y colaboración entre diferentes grupos de académicos que estudian la comprensión matemática (Star y Stylianides, 2013). Actualmente, el campo carece de consenso sobre qué marco(s) es(son) óptimo(s), pero claramente la noción de Skemp de comprensión instrumental y relacional será, y quizás debería seguir siendo, ampliamente utilizada por los educadores matemáticos de todo el mundo para impulsar conversaciones importantes sobre la comprensión matemática.
A continuación os dejo un breve resumen del artículo publicado originalmente en la edición de diciembre de 1976 de Mathematics Teaching . Se reimprimió en la edición de noviembre de 1978 de Arithmetic Teacher y en la edición de septiembre de 2006 de Mathematics Teaching in Middle School .El artículo está disponible en NCTM en http://www.nctm.org/publications/article.aspx?id=20558 y en JSTOR en http://www.jstor.org/stable/41182357 .
Abstracto
En este artículo, el autor define la comprensión relacional y la comprensión instrumental . A continuación, explica el impacto que, en su opinión, estos dos objetivos dispares tienen en las actitudes y la comprensión de los estudiantes.
Introducción: Los «Falsos Amigos» del Aprendizaje Matemático
Skemp abre su artículo con una analogía lingüística: los faux amis (palabras que suenan igual en dos idiomas pero significan cosas distintas). En matemáticas, identifica dos conceptos clave que, aunque compartan el mismo nombre, implican enfoques radicalmente diferentes:
- Comprensión instrumental: Saber cómo aplicar reglas sin entender por qué funcionan (ejemplo: «para dividir fracciones, invierte y multiplica»).
- Comprensión relacional: Entender tanto el procedimiento como su fundamento lógico (ejemplo: comprender por qué invertir una fracción equivale a multiplicar por su recíproco).
«Para muchos alumnos y profesores, ‘entender’ significa simplemente poder usar una regla correctamente. Pero esto no es lo mismo que comprender las relaciones subyacentes» (Skemp, 1978, p. 9).
Ejemplos y Consecuencias
Skemp ilustra la diferencia con casos cotidianos en aulas:
- Un alumno que calcula áreas de rectángulos con la fórmula A=L×BA=L×B pero no entiende por qué falla al aplicarla a unidades distintas (ejemplo: 20 cm × 15 yardas = «300 cm²»).
- Otro que suma ángulos internos de un triángulo correctamente, pero repite el mismo método erróneamente para ángulos externos.
Problema central: Cuando los profesores enseñan matemáticas relacionales pero los alumnos buscan soluciones instrumentales (o viceversa), se genera un desajuste que frustra el aprendizaje.
Ventajas y Desventajas
Skemp juega a «abogado del diablo» para presentar ambos enfoques:
| Comprensión Instrumental | Comprensión Relacional |
| ✔ Más fácil y rápida de aprender. | ✔ Adaptable a problemas nuevos. |
| ✔ Resultados inmediatos (ejercicios correctos). | ✔ Más duradera: se basa en esquemas mentales interconectados. |
| ✖ Requiere memorizar muchas reglas. | ✖ Exige más tiempo y esfuerzo inicial. |
| ✖ Errores al extrapolar reglas. | ✔ Fomenta autonomía y satisfacción intelectual. |
«Las matemáticas instrumentales son como seguir un mapa con rutas fijas; las relacionales, como tener un GPS que te permite navegar desde cualquier punto» (Skemp, 1978, p. 14).
Barreras en la Educación
Skemp señala obstáculos para implementar un enfoque relacional:
- Exámenes estandarizados: Premian respuestas rápidas, no comprensión profunda.
- Sobrecarga curricular: Temarios extensos dejan poco tiempo para explorar conceptos.
- Formación docente: Muchos profesores aprendieron matemáticas instrumentalmente y replican ese modelo.
«La aversión a las matemáticas es un síntoma de nuestro fracaso como educadores. Enseñar reglas sin significado es crear un ejército de ‘tribus’ que odian la asignatura» (Skemp, 1978, p. 13, citando a Hermann Bondi).
Conclusión: Un Llamado al Cambio
Skemp propone que las matemáticas relacionales no son solo «mejores», sino un sujeto distinto a las instrumentales. Invita a:
- Profesores: Reestructurar sus esquemas mentales para enseñar relaciones, no solo procedimientos.
- Diseñadores curriculares: Reducir contenidos y priorizar la profundidad.
- Investigadores: Desarrollar herramientas para evaluar la comprensión relacional.
«Diagnosticar el problema es el primer paso para curarlo. El siguiente es actuar» (Skemp, 1978, p. 15).
Referencias
Haapasalo, L., & Kadijevich, D. (2000). Two types of mathematical knowledge and their relation. Journal für Mathematik-Didaktik, 21(2), 139–157.
Hiebert, J., & Lefevre, P. (1986). Conceptual and procedural knowledge in mathematics: An introductory analysis. En J. Hiebert (Ed.), Conceptual and procedural knowledge: The case of mathematics (pp. 1–27). Lawrence Erlbaum.
Mellin-Olsen, S. (1981). Instrumentalism as an educational concept. Educational Studies in Mathematics, 12(3), 351–367.
Skemp, R. R. (1971). The psychology of learning mathematics. Penguin.
Skemp, R. R. (1976). Relational understanding and instrumental understanding. Mathematics Teaching, 77, 20–26.
Skemp, R. R. (1979). Intelligence, learning and action: A foundation for theory and practice in education. Wiley.
Skemp, R. R. (1987). The psychology of learning mathematics (Expanded American ed.). Lawrence Erlbaum.
Skemp, R. R., & Mellin-Olsen, S. (1973). Qualitative differences in mathematical thinking. Report to the Nuffield Foundation and the NAVF, Norway.
Star, J. R. (2000). On the relationship between knowing and doing in procedural learning. En B. Fishman & S. O’Connor-Divelbiss (Eds.), Proceedings of the fourth international conference of the learning sciences (pp. 80–86). Lawrence Erlbaum.
Star, J. R. (2005). Reconceptualizing procedural knowledge. Journal for Research in Mathematics Education, 36(5), 404–411.
Star, J. R. (2007). Foregrounding procedural knowledge. Journal for Research in Mathematics Education, 38(2), 132–135.
Star, J. R., & Stylianides, G. J. (2013). Procedural and conceptual knowledge: Exploring the gap between knowledge type and knowledge quality. Canadian Journal of Science, Mathematics and Technology Education, 13(2), 169–181.