Cuando lancé la sesión de los cilindros y los patrones, les prometí a mis alumnos que llegaríamos a un punto donde ellos dejarían de resolver problemas para empezar a inventarlos. Les dije que serían ellos quienes propondrían los retos al resto de la clase.
Miro ahora las fotos que me han devuelto de sus libretas y no puedo evitar emocionarme. No es solo que hayan cumplido; es que han hecho algo mucho más profundo. Han pasado de la intuición al cálculo estructurado; han dejado de ser consumidores de matemáticas para convertirse en autores. Y detrás de cada uno de esos dibujos de cuadrados, triángulos y puntos, hay una cantidad ingente de teoría educativa que, de repente, cobra un sentido absolutamente visceral.
¿Qué es realmente el Problem Posing?
En la educación matemática, a esta actividad de crear problemas se le llama problem posing. Como señalan Hartmann (2023) y Baumanns y Rott (2021), es el proceso mediante el cual los estudiantes formulan sus propios problemas o desarrollan sus propias tareas. Stoyanova y Ellerton (1996, p. 518) lo definen como «el proceso por el cual, sobre la base de la experiencia matemática, los estudiantes construyen interpretaciones personales de situaciones concretas y las formulan como problemas matemáticos significativos».
Como ya advertía Einstein, «la formulación de un problema es a menudo más esencial que su solución, que puede ser simplemente una cuestión de habilidad matemática o experimental. Plantear nuevas preguntas, nuevas posibilidades, mirar viejos problemas desde un nuevo ángulo, requiere imaginación creativa y marca un verdadero avance en la ciencia» (citado en Sarikaya et al., 2023, p. 3).
En el aula, lo que hicimos fue partir de un prompt o situación inicial no estructurada (Baumanns & Rott, 2021). Les dimos la situación de los patrones y ellos tuvieron que crear la tarea. Baumanns (2022) distingue entre la generación libre (crear un patrón desde cero) y la construcción de tareas para otros (cuando preparan el patrón para que sus compañeros lo resuelvan). En esa transición está la verdadera magia.
En uno de los cuadernos, un alumno escribe «INVENTADO» y dibuja su propia secuencia numérica que asciende como una pirámide. En otra imagen, una alumna anota «Explicación: Hay 4 cuadrados en línea y 1 en los lados sin separación». No están aplicando una fórmula que les he dado en la pizarra; están construyendo el andamiaje conceptual para que otro lo entienda. Están haciendo metacognición pura y dura.
El salto a la abstracción: la belleza de la generalización
Cai, Hwang, Jiang y Silber (2015) señalan en su revisión sobre la investigación en problem posing que, aunque sabemos que los estudiantes son capaces de plantear problemas, todavía hay preguntas abiertas sobre cómo este acto influye en su aprendizaje profundo. Yo tengo la respuesta delante de mis ojos en forma de fotos.
Fíjense en el alumno que dibuja los círculos rojos y escribe justificando visualmente la suma de los números triangulares. O en aquel que descubre la relación en su estructura de tablas con bloques verdes, o el que anota para las figuras en forma de «U».
¿Qué está pasando aquí? Están utilizando, sin saberlo, las estrategias clásicas de problem posing que Patsiala y Papadopoulos (2022) describen en la literatura. Están invirtiendo lo conocido y lo desconocido para crear una regla general. Están aplicando el What-if-yes (¿qué pasaría si añadimos atributos?) cuando transforman una pirámide de cuadrados en una de triángulos. Y están haciendo lo que Silver (1994) define como el núcleo de la formulación de problemas: reformular una situación dada para entender su estructura subyacente.
Están experimentando la tensión cognitiva de la que hablan Singer y Voica (2015): el alumno quiere mantener el control de su patrón (la seguridad de la secuencia de bloques que ya ha dibujado) pero, al mismo tiempo, necesita generalizar para darle un sentido matemático global. Ese salto, ese «cambio de marco cognitivo» que les lleva a escribir una letra «N» por primera vez para representar «cualquier número», es el verdadero nacimiento del pensamiento algebraico.
La audiencia real y el cambio de rol
En una clase tradicional, el profesor es el juez final: «¿Está bien o está mal?». Pero cuando los alumnos inventan problemas para sus compañeros, la dinámica cambia por completo.
Crespo (2003) demostró en sus investigaciones que cuando los estudiantes plantean problemas a una audiencia real, la calidad y la complejidad de sus producciones se disparan. No es lo mismo inventar algo en abstracto que tener que crear un problema que tu amigo de al lado va a tener que resolver. En las libretas veo flechas que conectan figuras, anotaciones como «La figura 1 se mantiene en todas las figuras», o «A la fila de arriba se le suma 1 cuadrado». Están diseñando un problema para otro.
Eso les obliga a ser rigurosos. Baumanns (2022) habla de la importancia de la regulación metacognitiva en este proceso: el alumno que crea un problema debe planificar (¿qué figura uso?), monitorizar (¿está creciendo de forma coherente?) y evaluar (¿esto tendrá sentido para mi compañero?). En las libretas se ven tachones, correcciones y reescrituras. Ahí está la evidencia de ese esfuerzo mental.
Al igual que ocurre en las actividades al aire libre con herramientas como MathCityMap, donde los estudiantes salen a encontrar sus propias tareas en el entorno (Hartmann et al., 2023), en nuestra clase el entorno ha sido el papel cuadriculado. Han tenido que seleccionar, comprender y traducir información cuantitativa, desarrollando una actividad cognitiva de altísimo nivel.
El profesor como facilitador (y por qué esto emociona)
Como docente debes pasar de dar instrucciones (esa tontada que tanto gusta al ResearchED de UK) a simplemente hacer preguntas: ¿Qué veis que se mantiene? ¿Cómo lo explicarías a alguien que no ve la figura? ¿Por qué esa fórmula y no otra?
Ellerton (2013), en su marco de Aprendizaje Activo, nos explica que el profesorado debe ceder la autoridad matemática. Mi papel ya no es ser el dueño único del conocimiento, sino el facilitador de un entorno donde equivocarse es seguro.
No obstante, no todo es un camino de rosas. La literatura nos advierte de que el problem posing suele estar asociado a la creatividad y a los estudiantes con altas capacidades, y que puede resultar especialmente problemático para los estudiantes con dificultades o requerir un rango de demandas muy amplio (Hartmann, 2023; Sarikaya et al., 2023). Además, es una actividad desconocida y poco representada en los libros de texto (Zhang & Cai, 2021). Por eso, mi papel como docente no es solo dejarles hacer, sino estructurar ese andamiaje, darles la seguridad de que su proceso de creación es valioso y acompañarles en la frustración cuando una idea no termina de cuajar.
Porque el éxito en matemáticas no radica en recordar el algoritmo para resolver un ejercicio de un libro. Como bien dice la teoría, radica en desarrollar hábitos mentales para afrontar situaciones nuevas y desconocidas. Y eso, queridos lectores, es exactamente lo que han hecho. Han creado el problema y, con él, han empezado a construir su propia forma de entender el mundo matemático.
Miro las tachaduras en los cuadernos y sonrojo al pensar en lo fácil que habría sido corregirles yo mismo antes de que ellos llegaran a su propia regla. Ahí está el aprendizaje real. Esto no es solo didáctica. Esto es la verdadera esencia de educar.
Referencias bibliográficas:
- Baumanns, L. (2022). Mathematical Problem Posing: Conceptual Considerations and Empirical Investigations for Understanding the Process of Problem Posing. Springer Spektrum.
- Baumanns, L., & Rott, B. (2021). Developing a framework for characterizing problem-posing activities: A review. Research in Mathematics Education, 24(1), 28-50.
- Cai, J., Hwang, S., Jiang, C., & Silber, S. (2015). Problem-posing Research in Mathematics Education: Some Answered and Unanswered Questions. En F. M. Singer, N. F. Ellerton, & J. Cai (Eds.), Mathematical Problem Posing: From Research to Effective Practice (pp. 3-34). Springer.
- Crespo, S. (2003). Learning to pose mathematical problems: Exploring changes in preservice teachers’ practices. Educational Studies in Mathematics, 52(3), 243-270.
- Ellerton, N. F. (2013). Engaging pre-service middle-school teacher-education students in mathematical problem posing: Development of an active learning framework. Educational Studies in Mathematics, 83(1), 87-101.
- Hartmann, L. (2023). Prozesse beim Problem Posing zu gegebenen realweltlichen Situationen und die Verbindung zum Modellieren. Springer Spektrum.
- Hartmann, L., Krawitz, J., & Schukajlow, S. (2023). Posing and Solving Modelling Problems—Extending the Modelling Process from a Problem Posing Perspective. Journal für Mathematik-Didaktik, 44, 533–561.
- Patsiala, N., & Papadopoulos, I. (2022). Developing an instrument to connect problem-posing strategies and mathematical habits of mind. En Twelfth Congress of the European Society for Research in Mathematics Education (CERME12).
- Sarikaya, D., Baumanns, L., Heuer, K., & Rott, B. (2023). Problem Posing and Solving for Mathematically Gifted and interested Students. Springer Spektrum.
- Silver, E. A. (1994). On mathematical problem posing. For the Learning of Mathematics, 14(1), 19-28.
- Singer, F. M., & Voica, C. (2015). Is Problem Posing a Tool for Identifying and Developing Mathematical Creativity? En F. M. Singer, N. F. Ellerton, & J. Cai (Eds.), Mathematical Problem Posing: From Research to Effective Practice (pp. 141-174). Springer.
- Stoyanova, E., & Ellerton, N. F. (1996). A framework for research into students’ problem posing in school mathematics. En P. C. Clarkson (Ed.), Technology in mathematics education (pp. 518-525). Melbourne, Australia: Mathematics Education Research Group of Australasia.
- Zhang, H., & Cai, J. (2021). Teaching mathematics through problem posing: insights from an analysis of teaching cases. ZDM-Mathematics Education, 961-973.